Publicidade
Publicidade
18/10/2001
-
11h17
especial para a Folha de S.Paulo
Se você é um patinador ou skatista e se interessa em saber qual deve ser o formato de uma rampa para que se atinja a maior velocidade possível indo do ponto mais alto para o mais baixo com os patins ou o skate, o artigo de hoje pode esclarecer-lhe o problema.
Ao que tudo indica, Galileu foi o primeiro a estudar mais detalhadamente uma curva com tal propriedade, conhecida hoje como ciclóide.
Para construir uma ciclóide, fure um bambolê de modo que nele se possa encaixar um giz. Em seguida, gire (sem escorregar) o bambolê sobre uma reta, fazendo com que o giz deixe uma marcação sobre uma superfície de fundo. Pronto: a curva marcada pelo giz é uma ciclóide (veja a figura 1) ou, se preferir, uma rampa de maior velocidade possível quando observada com a concavidade para cima.
A dedução da função cuja representação gráfica seja a ciclóide está ao alcance de um estudante do ensino médio, mas exigirá do leitor concentração e atenção. Vamos lá!
As coordenadas de um
ponto P qualquer de uma ciclóide podem ser determinadas em função do ângulo alfa, como indica a figura 2. Observe que o ponto P tem coordenadas x=AE e y=AC.
Sendo r o raio da circunferência girada para determinar a ciclóide, aplicando as definições de seno alfa e cosseno de alfa no triângulo PQD, segue que PD=EB= r.sen alfa e DQ=CE= r.cos alfa. Admitindo que a ciclóide se inicia quando P está na origem do plano cartesiano, podemos afirmar que o comprimento do segmento AB sobre o eixo x é igual ao comprimento do arco PB sobre a circunferência (sendo alfa dado em radianos, podemos dizer então que AB=alfa.r). Como AE=AB-EB, temos que AE= alfa.r - r.sen alfa ou ainda que AE=r( alfa - sen alfa). Sendo AC=AE-CE, teremos AC=r - r.cos alfa ou ainda AC=r(1 - cos alfa). Por fim, podemos dizer então que as coordenadas de um ponto P qualquer de uma ciclóide são tais que x=r(alfa - sen alfa) e y=r(1 - cos alfa), com alfa sendo dado em radianos.
Fato notável que também merece registro: a ciclóide, além de ser a curva dos "tempos mínimos", também é a curva dos "tempos iguais". Dois skatistas que partam de alturas diferentes da rampa em relação ao solo chegarão ao mesmo tempo no ponto mais baixo.
Confira essa propriedade em http://galileo.imss.firenze.it/museo/a/itautoc.html.
-------------------------------------------------------------------------------------------
José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do Colégio Visconde de Porto Seguro
Fovest - 18.out.2001
Vestibulares valorizam redação
Prova avalia capacidade de reflexão
Estudo analisa texto de vestibulando
Veja como garantir uma boa nota na redação
Confira alguns sites para arrasar na redação
PROFISSÕES
Engenharia que é quase administração
Atuação vai além das fábricas
Tire suas dúvidas sobre engenharia de produção
PROGRAMA
FGV-SP realiza primeira fase no domingo
Peça explora livro de Manuel Bandeira
RESUMÃO
História
Português
Atualidades
Biologia
Física
Resumão/matemática - A mais rápida rampa de skate
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLOespecial para a Folha de S.Paulo
Se você é um patinador ou skatista e se interessa em saber qual deve ser o formato de uma rampa para que se atinja a maior velocidade possível indo do ponto mais alto para o mais baixo com os patins ou o skate, o artigo de hoje pode esclarecer-lhe o problema.
Ao que tudo indica, Galileu foi o primeiro a estudar mais detalhadamente uma curva com tal propriedade, conhecida hoje como ciclóide.
Reprodução |
Para construir uma ciclóide, fure um bambolê de modo que nele se possa encaixar um giz. Em seguida, gire (sem escorregar) o bambolê sobre uma reta, fazendo com que o giz deixe uma marcação sobre uma superfície de fundo. Pronto: a curva marcada pelo giz é uma ciclóide (veja a figura 1) ou, se preferir, uma rampa de maior velocidade possível quando observada com a concavidade para cima.
A dedução da função cuja representação gráfica seja a ciclóide está ao alcance de um estudante do ensino médio, mas exigirá do leitor concentração e atenção. Vamos lá!
As coordenadas de um
Reprodução |
ponto P qualquer de uma ciclóide podem ser determinadas em função do ângulo alfa, como indica a figura 2. Observe que o ponto P tem coordenadas x=AE e y=AC.
Sendo r o raio da circunferência girada para determinar a ciclóide, aplicando as definições de seno alfa e cosseno de alfa no triângulo PQD, segue que PD=EB= r.sen alfa e DQ=CE= r.cos alfa. Admitindo que a ciclóide se inicia quando P está na origem do plano cartesiano, podemos afirmar que o comprimento do segmento AB sobre o eixo x é igual ao comprimento do arco PB sobre a circunferência (sendo alfa dado em radianos, podemos dizer então que AB=alfa.r). Como AE=AB-EB, temos que AE= alfa.r - r.sen alfa ou ainda que AE=r( alfa - sen alfa). Sendo AC=AE-CE, teremos AC=r - r.cos alfa ou ainda AC=r(1 - cos alfa). Por fim, podemos dizer então que as coordenadas de um ponto P qualquer de uma ciclóide são tais que x=r(alfa - sen alfa) e y=r(1 - cos alfa), com alfa sendo dado em radianos.
Fato notável que também merece registro: a ciclóide, além de ser a curva dos "tempos mínimos", também é a curva dos "tempos iguais". Dois skatistas que partam de alturas diferentes da rampa em relação ao solo chegarão ao mesmo tempo no ponto mais baixo.
Confira essa propriedade em http://galileo.imss.firenze.it/museo/a/itautoc.html.
-------------------------------------------------------------------------------------------
José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do Colégio Visconde de Porto Seguro
Fovest - 18.out.2001
PROFISSÕES
PROGRAMA
RESUMÃO
Publicidade
As Últimas que Você não Leu
Publicidade
+ LidasÍndice
- Avaliação reprova 226 faculdades do país pelo 4º ano consecutivo
- Dilma aprova lei que troca dívidas de universidades por bolsas
- Notas das melhores escolas paulistas despencam em exame; veja
- Universidades de SP divulgam calendário dos vestibulares 2013
- Mercadante diz que não há margem para reajuste maior aos docentes
+ Comentadas
- Câmara sinaliza absolvição de deputados envolvidos com Cachoeira
- Alunos com bônus por raça repetem mais na Unicamp
+ EnviadasÍndice