Resumão/matemática - A mais rápida rampa de skate
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLOespecial para a Folha de S.Paulo
Se você é um patinador ou skatista e se interessa em saber qual deve ser o formato de uma rampa para que se atinja a maior velocidade possível indo do ponto mais alto para o mais baixo com os patins ou o skate, o artigo de hoje pode esclarecer-lhe o problema.
Ao que tudo indica, Galileu foi o primeiro a estudar mais detalhadamente uma curva com tal propriedade, conhecida hoje como ciclóide.
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Para construir uma ciclóide, fure um bambolê de modo que nele se possa encaixar um giz. Em seguida, gire (sem escorregar) o bambolê sobre uma reta, fazendo com que o giz deixe uma marcação sobre uma superfície de fundo. Pronto: a curva marcada pelo giz é uma ciclóide (veja a figura 1) ou, se preferir, uma rampa de maior velocidade possível quando observada com a concavidade para cima.
A dedução da função cuja representação gráfica seja a ciclóide está ao alcance de um estudante do ensino médio, mas exigirá do leitor concentração e atenção. Vamos lá!
As coordenadas de um
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ponto P qualquer de uma ciclóide podem ser determinadas em função do ângulo alfa, como indica a figura 2. Observe que o ponto P tem coordenadas x=AE e y=AC.
Sendo r o raio da circunferência girada para determinar a ciclóide, aplicando as definições de seno alfa e cosseno de alfa no triângulo PQD, segue que PD=EB= r.sen alfa e DQ=CE= r.cos alfa. Admitindo que a ciclóide se inicia quando P está na origem do plano cartesiano, podemos afirmar que o comprimento do segmento AB sobre o eixo x é igual ao comprimento do arco PB sobre a circunferência (sendo alfa dado em radianos, podemos dizer então que AB=alfa.r). Como AE=AB-EB, temos que AE= alfa.r - r.sen alfa ou ainda que AE=r( alfa - sen alfa). Sendo AC=AE-CE, teremos AC=r - r.cos alfa ou ainda AC=r(1 - cos alfa). Por fim, podemos dizer então que as coordenadas de um ponto P qualquer de uma ciclóide são tais que x=r(alfa - sen alfa) e y=r(1 - cos alfa), com alfa sendo dado em radianos.
Fato notável que também merece registro: a ciclóide, além de ser a curva dos "tempos mínimos", também é a curva dos "tempos iguais". Dois skatistas que partam de alturas diferentes da rampa em relação ao solo chegarão ao mesmo tempo no ponto mais baixo.
Confira essa propriedade em http://galileo.imss.firenze.it/museo/a/itautoc.html.
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José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do Colégio Visconde de Porto Seguro
Fovest - 18.out.2001
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