JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Um poliedro é a reunião de um número finito de polígonos planos chamados faces em que: a) cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono; b) a intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice, ou é vazia. Grosso modo, podemos dizer que um poliedro é um sólido formado por várias faces poligonais.
Um poliedro é convexo se qualquer reta não-paralela às suas faces o cortar em, no máximo, dois pontos. Na figura, temos um exemplo de poliedro convexo com sete faces, 15 arestas e dez vértices e de um poliedro não-convexo com oito faces, 18 arestas e 12 vértices.
Em 1758, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu o teorema hoje conhecido como relação de Euler: em todo poliedro convexo com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação V-A+F=2.
Usaremos a relação de Euler para estudar a bola oficial de futebol da Fifa, que, desde a Copa do Mundo de 1970 até hoje, é composta por uma combinação de gomos hexagonais e pentagonais.
Sabendo que as faces hexagonais (h) da bola possuem seis arestas em sua fronteira, que as faces pentagonais (p) possuem cinco arestas em sua fronteira e que cada aresta é parte da fronteira de duas faces, temos 6h+5p=2A (1). Como cada aresta liga dois vértices e de cada vértice partem três arestas, temos 2A=3V (2).
Da relação de Euler segue que V-A+h+p=2 (3). Resolvendo o sistema com as equações (1), (2) e (3), encontramos p=12 e h=20. Isso significa dizer que a bola de futebol que tem sido tão bem tratada pela seleção canarinha nos últimos 32 anos, desde o tricampeonato de 1970 até o penta de 2002, é, coincidentemente, constituída de 32 faces, sendo 12 pentagonais e 20 hexagonais. Pode conferir!