JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Dada uma equação do segundo grau ax2+bx+c=0, com raízes p e q, pode-se demonstrar de maneira simples que sua forma fatorada será a(x-p)(x-q)=0.
Tal fato nos permite expressar a função quadrática na forma f(x)= a(x-p)(x-q), sendo p e q seus zeros ou raízes. Interpretando-se geometricamente as raízes, sabemos que p e q são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x quando a função tem raízes reais. Mas, o que teríamos a dizer sobre a interpretação geométrica de p e q no caso em que a função quadrática não tem raízes reais? Tentarei convencê-lo de que também nesse caso podemos "ver" os zeros não reais da função no mesmo plano real em que a parábola foi construída.
Uma função quadrática não tem raízes reais quando b2-4ac<0, o que implica dizer, nesse caso, que a parábola não cruza o eixo x, e que, portanto, não temos como interpretar geometricamente o significado das raízes no plano cartesiano.
Porém, essa impossibilidade não nos impede de buscar uma resposta para a seguinte questão: sendo m+ni e m-ni as raízes complexas de uma função quadrática com b2-4ac<0, qual é o significado geométrico no plano cartesiano de m e de n, que são as constantes associadas, respectivamente, a parte real e imaginária das raízes complexas?
Se as raízes p e q da função quadrática são m+ni e m-ni, então, substituindo esses valores na forma fatorada da função teremos f(x)=a(x-m-ni)(x-m+ni). A partir dessa expressão, e com um pouco de trabalho algébrico e conhecimento de operações com complexos, chegaremos a f(x)=ax2-2amx+ a(m2+n2). E agora, a surpresa: "o x do vértice da parábola que representa essa função é igual a m". Tal afirmação pode ser verificada aplicando-se diretamente a fórmula do x do vértice da parábola (-b/2a). A figura 1 mostra a interpretação geométrica de m.
Resta agora encontrar um significado geométrico para n. O y do vértice da parábola é dado por f(m)=an2. A surpresa virá agora ao determinarmos o valor de x para o qual f(x) é igual ao "dobro do y do vértice", o que resume-se a tarefa de determinar o valor de x na equação ax2-2amx+ a(m2+n2)=2an2. Fazendo os cálculos você descobrirá que x=+-n, fato que nos possibilita identificar geometricamente n no plano cartesiano, conforme indica a figura 2.
Raciocínio análogo também pode ser feito para o caso em que a<0.