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MATEMÁTICA
Arquimedes e o problema dos cilindros
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA
Arquimedes de Siracusa (287
a.C.-212 a.C.), considerado um
dos maiores matemáticos de todos os tempos, é notoriamente
conhecido por ter antecipado
uma série de resultados matemáticos muito antes do desenvolvimento do cálculo diferencial integral. O problema dos cilindros
cruzados é um bom exemplo de
exercício que os matemáticos resolvem modernamente com o uso
do cálculo e que Arquimedes solucionou sem essa ferramenta. Infelizmente, não temos registros
do método exato usado por ele,
mas discutiremos o raciocínio
que provavelmente foi usado no
encaminhamento da questão.
O problema consiste em determinar o volume do sólido obtido
da intersecção reta de dois cilindros de raio unitário (figura 1).
Inicialmente, imaginaremos
uma esfera de raio unitário perfeitamente colocada no interior da
intersecção dos dois cilindros. Em
seguida, faremos um corte dividindo ao meio os cilindros e a esfera, conforme mostra a figura 2.
Não é difícil imaginar que qualquer corte que seja paralelo ao feito e que faça intersecção com os
sólidos vá determinar uma secção
quadrada com um círculo inscrito. Se imaginarmos todos essas
secções empilhadas, como se fossem recortes de papel, poderemos
concluir que o volume da esfera
será dado pela soma de todos os
recortes circulares e que o volume
do sólido procurado será dado
pela soma de todos os recortes
quadrados. Arquimedes deve ter
intuído que a razão entre o volume do sólido procurado e o volume da esfera seria igual à razão
entre a área de um quadrado e a
área do círculo inscrito, o que está
correto. Assumindo raio unitário
e usando as fórmulas do volume
da esfera e da área do círculo, concluiremos que o volume do sólido
procurado será igual a 16/3.
Arquimedes achou solução
equivalente afirmando que o
volume do sólido seria igual a 2/3
do volume do cubo que envolve a
esfera.
José Luiz Pastore Mello é licenciado
em matemática e mestrando em educação pela USP.
E-mail: jlpmello@uol.com.br
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