JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Se você observar com atenção um favo de mel, notará que em uma das extremidades ele é composto por um perfeito encaixe de prismas hexagonais regulares, cuja secção plana está representada na figura 1. Diante disso, é natural que nos perguntemos por que as abelhas preferem hexágonos regulares em relação aos outros dois polígonos regulares que também permitem encaixes perfeitos, ou seja, o quadrado e o triângulo equilátero (figuras 2 e 3).
Papus de Alexandria, importante geômetra grego do final do século 3, foi o primeiro a levantar a hipótese de que as abelhas constroem os favos em hexágonos por questão de eficiência. De fato, sabendo que para cada grama de cera usada na construção das paredes dos alvéolos são consumidos aproximadamente seis gramas de mel, é razoável admitir que a forma geométrica ideal de cada alvéolo, no plano bidimensional, deva ser aquela que minimize o perímetro total, admitindo uma certa área fixa.
Em relação às figuras acima, o problema da eficiência dos alvéolos pode ser reescrito assim: dado um triângulo equilátero de lado t, um quadrado de lado q e um hexágono regular de lado h, se os três polígonos têm a mesma área, queremos verificar que o hexágono tem o menor perímetro.
Igualando a área dos três polígonos teremos que Se assumirmos t=1, encontraremos e o que implica dizer que o perímetro do triângulo será igual a 3, o do quadrado igual a (aproximadamente 2,63), e o do hexágono (aproximadamente 2,45), o que verifica o resultado procurado.
Em 1943, o húngaro L. Fejes Tóth demonstrou que, mesmo se admitirmos padrões de construção dos favos com a combinação de diferentes polígonos, ainda assim o padrão hexagonal continua sendo o de perímetro mínimo.
Encerrando a questão definitivamente, em 1999, o matemático norte-americano Thomas Hales provou que o padrão hexagonal de construção das abelhas é o mais eficiente até mesmo se admitirmos padrões curvos dos alvéolos na composição do favo.