JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

A matemática tem uma quantidade enorme de exemplos de aplicações práticas dos conhecimentos por ela investigados. Hoje analisaremos uma dessas aplicações na expectativa de que você se convença de que a matemática também ocupa espaço importante na área da ciência aplicada.
Problemas que investigam a distância mínima ligando pontos do plano em rede podem ser estudados utilizando o cálculo diferencial ou recursos de computação, mas, muitas vezes, também podem ser resolvidos por métodos geométricos puros. Vejamos um exemplo clássico de problema em que os métodos geométricos são esclarecedores: dado um triângulo ABC de ângulos menores que 120, determine um ponto interno, denotado por S, de forma que a soma AS+SB+SC seja a menor possível.
A solução desse problema, que é conhecido na matemática como problema de Fermat ou de Steiner, será o ponto S tal que as medidas dos ângulos ASB, BSC e CSA sejam todas iguais a 120 (apesar de simples, a demonstração de tal fato não é o propósito deste artigo).
Um segundo problema interessante que decorre desse é o da construção, com régua e compasso, o ponto S. Apresentaremos uma das mais belas soluções de construção de S, atribuída à Torricelli (ver figura): (1) desenhe o triângulo ABC; (2) escolha qualquer dos lados do triângulo ABC e construa um triângulo equilátero a partir dele (construímos BCX); (3) circunscreva o triângulo BCX (basta construir o circuncentro de BCX usando o ponto de encontro das mediatrizes); (4) ligando A com X o ponto procurado S será a intersecção do segmento AX com a circunferência.
A justificativa para a construção como solução do problema é a seguinte: (a) ângulo BSX mede 60 (ângulo BCX mede 60 porque BCX é equilátero; ângulo BSX e BCX são congruentes porque são ângulos inscritos de um mesmo ângulo central); (b) ângulo CSX mede 60 (raciocínio análogo ao anterior); (c) ângulo BSC mede 120 (decorre dos itens "a" e "b"); (d) ângulo BSA mede 120 (decorre do item "a" e do fato que AX é um segmento de reta).
O conhecimento que acabamos de investigar foi utilizado de forma prática pelo consórcio de empresas que construiu, em 1989, a terceira linha Trans-Pacífica de Cabos de fibra óptica (TPC-3). O projeto necessitava encontrar um ponto o no Pacífico que minimizasse a soma das distâncias ligando em rede o Japão, Guam e o Havaí, o que corresponde no nosso problema ao ponto S.
Deixo por conta do leitor a investigação do seguinte fato complementar à análise que acabamos de fazer: se um dos ângulos de um triângulo ABC mede 120 ou mais, o ponto S que minimiza a soma AS+SB+SC será o vértice do triângulo ABC que liga dois dos seus menores lados.