No início do século 20, a matemática atravessava uma crise grave. No século anterior, a disciplina tivera um desenvolvimento extraordinário, tornara-se mais poderosa e mais abstrata. Era necessário organizar e apoiar esse conhecimento em bases sólidas e garantir que não continha contradições.

Um bom modelo de organização já havia sido inventado na antiguidade, pelo matemático helenístico Euclides. Em seu tratado “Elementos”, formulou cinco afirmações que considerava intuitivamente evidentes —os axiomas— e mostrou como as demais afirmações da geometria plana podem ser deduzidas dessas por meio de raciocínios rigorosos.

Os trabalhos de Gauss, Bolyai, Lobachevsky e Riemann, todos no século 19, questionaram a natureza dos axiomas de Euclides e levaram à descoberta das geometrias não-euclidianas.

Mas isso não pusera em causa a utilidade do método axiomático, apenas mostrara que axiomas não são verdadeiros ou falsos, em algum sentido físico, são apenas pontos de partida convenientes para desenvolver a teoria matemática.

Ainda no século 19, Dedekind e Peano mostraram que o método axiomático também pode ser aplicado à aritmética. Ao final desse século, Cantor desenvolveu a teoria dos conjuntos, que parecia ser a melhor fundação para toda a matemática. 

A partir dos conjuntos podemos definir os números inteiros e, por meio destes, obter os demais objetos matemáticos. Kronecker afirmava que “Deus criou os números inteiros, tudo mais é obra do homem”.

Tão confiantes estávamos que, em sua famosa palestra no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900, Hilbert incluiu “axiomatizar a física” como uma das tarefas da matemática para o século que se iniciava.

Mas a teoria dos conjuntos apresentou imediatamente problemas graves, contradições e paradoxos em torno de ideias como “o conjunto dos conjuntos que não pertencem a si mesmos”.

Como poderia a matemática ser apoiada em fundação tão insegura? Voltarei ao tema na próxima semana.