Ao final do século 19, a ciência respirava otimismo quanto à capacidade do intelecto humano para penetrar os mistérios do universo. Na física, havia a convicção de que as grandes descobertas já tinham acontecido, e o que faltava era pouco mais do que melhorar a precisão das medições. Essa confiança no poder da mente era ainda maior na matemática, com sua espetacular lista de avanços.

Em famosa palestra no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900, em Paris, o alemão David Hilbert (1862 – 1943) listou 23 problemas para serem resolvidos no novo século, afirmando: “A convicção de que todo problema matemático pode ser resolvido é um poderoso incentivo para o pesquisador. Escutamos dentro de nós o chamado perpétuo: Aqui está o problema. Busque a solução. Você pode encontrá-la pela razão pura, pois em matemática não existe ‘não sei’.”

No entanto o desenvolvimento da ciência ao longo do século 20 iria mostrar que existem, sim, certos limites incontornáveis ao poder do raciocínio. O primeiro foi descoberto na física: o princípio da incerteza, formulado em 1927 pelo físico alemão Werner Heisenberg (1901–1976), afirma que não é possível conhecer ao mesmo tempo a posição e a velocidade de uma partícula subatômica, como o elétron: quanto mais precisa for a medição de uma dessas grandezas, mais grosseira será a estimativa da outra, necessariamente. Voltarei ao tema brevemente.

O projeto maior de Hilbert era formular a matemática em bases rigorosas, de modo a livrá-la de uma vez dos paradoxos da teoria dos conjuntos. De fato, esse era justamente o teor do segundo problema na sua lista. Mas os teoremas de incompletude provados em 1931 pelo matemático e filósofo austríaco Kurt Gödel (1906–1978), mostraram que isso não é possível: Gödel mostrou que o fato de que a matemática não contém contradições nunca poderá ser provado rigorosamente.

Em sua tese de doutorado, de 1951, o economista e matemático norte-americano Kenneth Arrow (1921 – 2017), prêmio Nobel da economia em 1972, descobriu outro problema intrigante, com importantes implicações práticas, cuja solução está fora do nosso alcance.

Considere um processo de escolha com três ou mais candidatos (pessoas, coisas, ideias etc). Cada ‘eleitor’ vota listando os candidatos na ordem de preferência. O problema é determinar, a partir dos votos individuais, uma lista ordenada que reflita a preferência global do eleitorado. Há três regras. Se todos os eleitores preferem X a Y, então X deve ficar na frente de Y na lista final. A posição relativa de dois candidatos quaisquer (quem fica na frente de quem) na lista final deve depender apenas de suas posições relativas nas votações, e não das opiniões dos eleitores sobre os demais candidatos.

Finalmente, não deve haver ditador, cuja opinião é seguida sem considerar as dos demais eleitores. O teorema da impossibilidade de Arrow afirma que não existe nenhum procedimento que satisfaça estas três regras simples!