O estranho ano de 2020 caminha para o fim e logo será hora das festividades natalinas. Um dos aspectos mais simpáticos da nossa tradição é a brincadeira do amigo secreto: para cada pessoa no grupo – a família ou os colegas de trabalho – é sorteado, de modo confidencial, alguém no grupo a quem essa pessoa dará um presente.

Aqui em casa, quem cuidava do sorteio era eu. O modo mais simples é escrever os nomes em papéis, que depois são dobrados. Cada um escolhe um papel e confere em segredo o nome do seu amigo. Cada resultado possível é chamada uma permutação. O número total de permutações de N pessoas é igual a N! (leia N fatorial), que é N vezes (N-1) vezes … vezes 3 vezes 2 vezes 1.

Mas há um problema nesse procedimento: por muito prazeroso que seja dar presentes a si mesmo, o amigo secreto não pode ser a própria pessoa! Por isso, só são válidas aquelas permutações em que ninguém escolhe o papel com seu próprio nome, que são chamadas desarranjos do grupo.

Quando fui organizar o amigo secreto da família, estava consciente desse problema, mas torci para sair um desarranjo logo na primeira, e senão tentaríamos de novo. Mas depois de quatro tentativas fracassadas a família cansou, e acho que a confiança na minha habilidade matemática caiu muito… Fui trocado por um aplicativo! Foi aí que decidi estudar o assunto direito.

O problema de saber quantos desarranjos existem foi formulado em 1708 pelo francês Pierre Rémond de Montmort (1678–1719) e foi resolvido pelo próprio, e também por seu amigo Nicolas Bernoulli (1687–1759), por volta de 1713. O que eles viram foi que o número total de desarranjos de um grupo com N membros é o número inteiro mais próximo de N fatorial dividido pela constante de Euler e = 2,718281828459045... (Será que os leitores se animam a verificar esse fato? Respostas são bem-vindas pelo e-mail viana.folhasp@gmail.com)

Isso quer dizer que quando fazemos um sorteio simples, como descrevi acima, a probabilidade de dar um desarranjo é de apenas 1/e = 0,3678…, ou seja, pouco mais de 1 vez a cada 3. Quer dizer que eu dei azar, mas não muito. Mas existem algoritmos mais efetivos, que só geram desarranjos: agora que sei disso, não vejo a hora de pegar a minha função na família de volta do aplicativo!

Um problema relacionado, mas mais difícil, é sentar N casais em volta de uma mesa redonda, de tal modo que mulheres e homens se alternem e ninguém fique do lado do seu cônjuge. O modo tradicional de atacar esse problema é sentando primeiro as mulheres, em cadeiras alternadas, e depois os homens, calculando o número de modos de realizar cada etapa.

O número de soluções é conhecido, mas a fórmula é complicada e os raciocínios são sutis. Mas também existem demonstrações modernas que não usam o “primeiro as damas” e são mais fáceis de entender.