A partir do conhecimento recebido da Mesopotâmia e do Egito, a Grécia antiga obteve avanços notáveis na geometria. Mas três problemas resistiram ao engenho dos gregos e obcecaram gerações ao longo de mais de dois milênios: duplicação do cubo, trissecção do ângulo e quadratura do círculo.

Os três só foram compreendidos no século 19, quando foi possível provar que todos são insolúveis. O que não impediu que curiosos continuem produzindo “soluções” (eu recebo várias por ano para opinar).

O problema da duplicação do cubo consiste em construir a aresta de um cubo cujo volume é o dobro do volume de um cubo dado, usando apenas régua (não graduada) e compasso.

Segundo o historiador Plutarco, o problema teria sua origem numa consulta da ilha de Delos ao famoso oráculo de Delfos sobre como apaziguar o deus Apolo, que lançara uma praga sobre a ilha. O oráculo respondeu que deveriam duplicar o altar no templo de Apolo, que era um cubo. Prontamente substituíram o altar por outro cubo com o dobro de aresta, mas a praga persistiu. Consultado, o filósofo Platão esclareceu que era o volume que precisava ser duplicado, não a aresta, e interpretou que Apolo estava recomendando que os cidadãos de Delos dedicassem mais tempo à matemática. O que me parece um excelente conselho da parte do deus, aliás.

Ainda segundo Plutarco, Platão teria passado o problema aos matemáticos Eudoxus, Archytas e Meaechmus, os quais encontraram soluções utilizando diferentes instrumentos mecânicos, o que levou o filósofo a dar um puxão de orelha nos três por não terem usado apenas geometria pura, ou seja, régua e compasso.

Do ponto de vista matemático, o problema consiste em construir um segmento de reta cujo comprimento é raiz cúbica de 2 vezes o comprimento de um segmento dado. A solução foi dada em 1837 pelo francês Pierre Wantzel (1814–1848), o qual observou que um segmento pode ser construído com régua e compasso somente se o comprimento é raiz de uma cadeia finita de equações de grau 1 ou 2. Esse não é o caso da raiz cúbica de 2, portanto o problema da duplicação do cubo é impossível.

No mesmo trabalho, Wantzel também provou a impossibilidade da trissecção do ângulo. Seis anos depois, ele ainda mostrou que quando uma equação de grau três tem três raízes reais a sua resolução envolve necessariamente números imaginários. Esse fato curioso contribuiu muito para estabelecer a legitimidade dos números imaginários.