A expressão “quadratura do círculo” entrou na linguagem como sinônimo de tarefa impossível, mas o problema —construir com régua e compasso um quadrado com área igual à de um círculo dado— obcecou profissionais e amadores por mais de 25 séculos.

Ninguém expressou essa obsessão melhor do que Charles L. Dodgson, mais conhecido como Lewis Carroll, matemático e autor de “Alice no País das Maravilhas”. A respeito de correspondência com um “especialista em quadratura”, ele escreveu em 1888: “esse visionário iludido me encheu com a grande ambição de conseguir uma façanha nunca alcançada pela humanidade: convencer um ‘quadrador do círculo’ de seu erro! O valor que o amigo usava para π era 3,2: erro tão grande que pensei que poderia facilmente mostrar que estava errado. Mais de vinte cartas foram trocadas antes de que eu me convencesse, tristemente, de que não tinha nenhuma chance”.

O cálculo da área do círculo remonta à alvorada da civilização. Arquimedes (287–212 a.C.) provou que ela é proporcional ao quadrado do raio do círculo: a constante de proporcionalidade é representada pela letra grega π (pi) e o seu valor é 3,1415926535.... Muito antes, o famoso papiro de Rhind (Egito, cerca de 1.800 a.C.) já continha o valor aproximado 256/81=3,1604938….

O problema da quadratura do círculo tem a distinção rara de ser mencionado numa peça de teatro: “Os pássaros” do grego Aristófanes (446 – 386 a.C.). Acredita-se que o primeiro a requerer que a solução use apenas régua e compasso foi outro grego, Oinópides, que viveu por volta de 450 a.C.. No século 17 já havia suspeitas de que com essa exigência o problema é impossível: o escocês James Gregory (1638–1675) publicou uma “prova” em 1667, embora estivesse errada.

Em 1837, o francês Pierre Wantzel (1814–1848) mostrou que grandezas que podem ser construídas com régua e compasso precisam ser soluções de certas equações polinomiais com coeficientes inteiros, e deduziu disso que os outros dois problemas geométricos clássicos —duplicação do cubo e trissecção do ângulo— são impossíveis.

O suíço Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) havia mostrado em 1761 que π é um número irracional (não pode ser escrito como fração de números inteiros) e conjecturou que ele é transcendente, ou seja, não é solução de nenhuma equação polinomial. Essa conjectura foi provada em 1882 pelo alemão Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939) que, desta forma, mostrou de vez a impossibilidade da quadratura do círculo. Nenhum ‘quadrador do círculo’ se deixou desencorajar por esse detalhe...