Os filósofos consideram dois tipos principais de raciocínio: dedução e indução. Os dois podem ser comparados do seguinte modo (bem simplificado!).

A dedução parte de afirmações gerais, as premissas, e, por meio de regras lógicas, chega a afirmações mais específicas, chamadas conclusões. Um exemplo simples, atribuído a Aristóteles (384 a.C.- 322 a.C.): Todo o homem é mortal. Sócrates é um homem. Logo, Sócrates é mortal".

A indução vai no sentido contrário, partindo de casos particulares para chegar a regras gerais. Por exemplo, observando que os seres vivos conhecidos são formados por células, presumimos que o mesmo vale para todos os seres vivos.

A indução é a base da ciência experimental. Mas pode falhar: saber que as galinhas no meu quintal têm plumagem vermelha não garante que toda galinha no mundo é vermelha. Já a dedução é rigorosa: se as premissas são verdadeiras, a conclusão é necessariamente verdadeira. Mas isso é porque essa está contida naquelas, não trazendo nova informação.

E a matemática, como fica nesta discussão?

O raciocínio matemático é dedutivo por natureza: ele parte de certas afirmações, os axiomas, e, por meio de passos lógicos bem definidos, chega a novas afirmações, chamadas teoremas. É isso que torna a matemática uma ciência rigorosa.

Mas o raciocínio matemático também tem uma capacidade notável para produzir novo conhecimento. O teorema de Fermat afirma que a equação xⁿ+yⁿ=zⁿ não tem soluções x, y, z inteiras positivas se o expoente n for maior do que 2. Ele é deduzido dos axiomas da álgebra, mas certamente não está contido nesses axiomas. É como se o teorema fosse criado (ou descoberto?) no ato da dedução.

O que o raciocínio matemático tem de especial para que seja ao mesmo tempo rigoroso, como a dedução clássica, e criativo, como a indução experimental?

A resposta está na indução matemática, o princípio segundo o qual se uma dada afirmação é verdadeira para o número 1, e se o fato de ser verdadeira para um dado número inteiro N acarreta que também é verdadeira para N+1, então essa afirmação é verdadeira para todos os inteiros positivos.

Essa lei notável, que não tem similar na ciência experimental, permite à matemática passar do finito ao infinito de modo, ao mesmo tempo, frutífero e rigoroso. Comentarei na próxima semana sobre as suas origens.