Volta e meia, leitores me pedem que escreva sobre os problemas não resolvidos mais importantes da matemática. Alguns são complicados demais para um jornal, tomariam muito espaço só para explicar do que se trata. Mas há vários que dá para comentar aqui, e esses são mesmo os mais interessantes. Começo a lista com dois problemas famosos da teoria dos números.

1. Conjectura dos primos gêmeos. Este é o problema não resolvido mais antigo, remontando à Grécia antiga. Primos gêmeos são pares de números primos cuja diferença é igual a 2, por exemplo, 41 e 43.

À medida que consideramos números maiores, os primos vão se tornando cada vez mais espaçados (isso é explicado pelo Teorema dos Números Primos, de que falarei aqui em outra ocasião). O mesmo acontece com os primos gêmeos, só que bem mais rápido: sabemos que os primos gêmeos são muito mais raros do que os primos. A questão é provar que, assim mesmo, a quantidade de primos gêmeos ainda é infinita.

Em 2013, Yitang Zhang provou que existe um número N e uma quantidade infinita de pares de primos cuja diferença é no máximo N. Inicialmente, N era enorme (70 milhões!), mas uma rede internacional de matemáticos liderada por Terence Tao reduziu-o para N=246. Chegar a N=2 provaria a conjectura, mas para isso serão necessárias novas ideias.

2. Conjectura de Goldbach. Em carta enviada a Leonhard Euler em 7 de junho de 1742, o alemão Christiab Goldbach propôs a seguinte conjectura: todo inteiro maior do que 5 pode ser escrito como soma de três primos (por exemplo, 33=23+7+3). Euler respondeu em 30 do mesmo mês, observando que isso seria o mesmo que mostrar que todo inteiro par maior do que 2 é soma de dois primos (por exemplo, 42=23+19). E acrescentou: "considero isso um teorema garantido, embora não seja capaz de provar".

Continuamos não sabendo provar, embora a afirmação tenha sido conferida computacionalmente para todos os números até 18 dígitos. Além disso, em 2013, o matemático peruano de origem alemã Harald Helfgott provou que todo inteiro ímpar maior do que 7 é soma de três primos. Isso é chamado conjectura de Goldbach fraca porque não basta para provar a conjectura original, mas é um bom indício da sua veracidade: se a conjectura original fosse falsa, a fraca também teria que ser.