Anteriormente, tratei aqui de quatro grandes problemas matemáticos:

1. Conjectura dos primos gêmeos
2. Conjectura de Goldbach
3. Conjectura de Collatz
4. Hipótese de Riemann

Continuo a lista com dois problemas relativos às três constantes mais famosas da matemática. Eles são estudados desde o século 18, mas ainda não foram resolvidos.

5. O número π+e é racional? Não há dúvida de que π (pronuncie pi) =3,14159… é a constante mais famosa da matemática, seguido de perto pelo número de Euler-Neper e=2,71828…

Sabemos que ambos são números irracionais, ou seja, não podem ser escritos como frações p/q de números inteiros. Isso foi provado por Leonhard Euler em 1737, no caso do e, e por Johann Heinrich Lambert, por volta de 1760, no caso do π.

Aliás, sabemos mais: Ferdinand von Lindemann provou em 1882 que tanto π como e são números transcendentes, ou seja, eles não são soluções de nenhuma equação polinomial akx^k+ … +a2x²+a1x+a0=0 com coeficientes ak, …, a2, a1, a0 inteiros.

Mas para a maioria dos números construídos a partir deles, tais como π+e, π-e, πe, π/e, π^π, e^e e π^e, não temos ideia se são racionais ou irracionais. Uma exceção um pouco surpreendente é e^π, que se sabe que é transcendente, logo irracional.

6. O número γ é racional? Na corrida para constante matemática mais famosa, a medalha de bronze vai para o número de Euler-Mascheroni γ (pronuncie gama) =0,57721… Ela apareceu em trabalhos de Leonhard Euler em 1734 e de Lorenzo Mascheroni em 1790.

A definição é a seguinte: some as frações 1/1, 1/2, 1/3, … até 1/N e subtraia o valor do logaritmo neperiano de N; quanto maior for o N, mais próximo o resultado estará do valor de γ. O número γ já foi muito estudado, e sabemos que está relacionado com questões importantes em diferentes áreas da matemática. Também conhecemos mais de 600 bilhões de seus dígitos.

Todo mundo acredita que γ é irracional, mas não existe uma demonstração rigorosa desse fato. Por exemplo, em 2010 os matemáticos M. Ram Murty e N. Saradha encontraram uma certa família infinita de números contendo γ, e provaram que no máximo um deles pode ser racional. Não sabemos qual, e seria muita coincidência que fosse justamente o γ, concorda? Mas também não podemos garantir que não seja...