06/06/2002 - 11h17

Matemática: Pavimentações e a matemática do mal

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
da Folha de S.Paulo

Recobrir uma superfície plana com peças poligonais constitui uma das atividades mais antigas realizadas pelo homem.

Kepler foi o primeiro a estudar pavimentações do plano utilizando polígonos regulares. Em seus estudos, observou que polígonos regulares idênticos pavimentam perfeitamente um plano apenas se seus ângulos internos forem um divisor de 360.

O triângulo eqüilátero pode realizar uma pavimentação porque cada um de seus ângulos internos mede 60º (divisor de 360). O quadrado e o hexágono regular também pavimentam um plano porque possuem ângulos internos respectivamente iguais a 90 e a 120.

Pentágonos regulares não pavimentam um plano sem sobreposições ou cortes porque seus ângulos internos medem 108, que não é um divisor de 360. O triângulo eqüilátero, o quadrado e o hexágono regular são os únicos polígonos regulares capazes de pavimentar o plano. Pavimentações como essas são chamadas de periódicas uma vez que recobrem o plano repetindo um mesmo padrão.

Roger Penrose, um importante físico-matemático, criou uma curiosa pavimentação aperiódica (não repete padrões) que envolve polígonos batizados de "pipa" e "seta" (ver figura 2). Como nem sempre o conhecimento é usado para o bem, a pavimentação de Penrose foi utilizada recentemente como padrão de textura em rolos de papel higiênico de uma conhecida marca. Uma vez que a pavimentação de Penrose não repete padrão, a idéia do fabricante era produzir um rolo de papel higiênico em que nunca houvesse sobreposição de perfurações.

O objetivo foi alcançado com 15% de papel a menos no mesmo volume de rolo. O caso está sob julgamento até hoje nos tribunais ingleses.

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