JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA


E xistem algumas maneiras diferentes de introduzir a idéia de número complexo, sendo a mais comum delas aquela que se vale da definição de unidade imaginária (i2=-1), seguida das propriedades operatórias que caracterizam a estrutura algébrica dos números complexos. A seqüência natural desse caminho é a introdução da representação trigonométrica dos complexos, o que confere status vetorial ao sistema investigado, uma vez que definimos um ângulo (argumento) e um número real (módulo), sendo o primeiro responsável por estabelecer a direção e o segundo por definir uma grandeza.
Com base nisso, podemos interpretar geometricamente as operações com números complexos (adição e multiplicação) como responsáveis por "translações", "dilatações" e "rotações" no plano Argand-Gauss.
Aos leitores que aprenderam números complexos pelo caminho descrito, apresento brevemente uma curiosa alternativa à introdução do assunto com o uso do conceito de matrizes e suas operações.
Dada uma matriz quadrada A de ordem 2, em que a11=a22=x, a12=y e a21=-y (x e y são reais quaisquer), pode-se dizer que a álgebra das matrizes com essa estrutura se comporta de maneira semelhante à dos números complexos de representação algébrica x+yi.
Por exemplo, se chamarmos de i a matriz do conjunto descrito com x=0 e y=1, verificaremos facilmente que o produto matricial i.i resulta em uma matriz em que a11=a22=-1 e a12=a21=0, que nada mais é do que a matriz identidade (I) multiplicada pelo escalar -1.
Como a matriz identidade representa a unidade do sistema de matrizes, segue que o produto matricial i2 é igual a -I, o que evidencia a relação entre o sistema das matrizes definidas anteriormente e o dos números complexos, para o qual i2=-1.
Vejamos um outro exemplo: a soma dos números complexos 1+2i e 3-i , que resulta em 4+i, pode ser interpretada como a soma da matriz quadrada onde x=1 e y=2 com a matriz quadrada onde x=3 e y=-1. Verifique você que a matriz resultante dessa soma, tal qual esperamos, será uma matriz com x=4 e y=1.
Em linguagem matemática, diz-se que a álgebra das matrizes quadradas, conforme descritas, é isomorfa em relação à dos complexos x+yi, o que, em outras palavras, significa que podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre os elementos dos dois conjuntos preservando as operações de ambos.