JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

No artigo do dia 31 de julho, lançamos o seguinte problema: se quisermos construir estradas de mão dupla que liguem quatro cidades localizadas nos vértices de um quadrado de lado unitário, como deverá ser o projeto para que a malha viária total seja a mais curta possível? Na ocasião, analisamos seis projetos, dos quais o indicado na figura 1 foi, provisoriamente, eleito como o melhor possível (comprimento da malha = Vamos conferir hoje qual é a solução definitiva para o problema.
A figura 2 indica as duas configurações ideais que resolvem o problema (uma em linha cheia, a outra em linha tracejada). Para verificar que cada uma delas é mais curta do que a da figura 1, tomemos como referência o desenho da figura 3.
Sabemos que o é isósceles, com ângulos da base iguais a 30. Aplicando a lei dos senos, temos que ou seja, 00 (observe também que AE=BE=CF=DF). Como AG = 0,5 e o é retângulo, GE = 0,5.tg30, ou seja, Observando a figura, concluímos que EF = 1-2GE, ou seja, Como a malha viária mede 4AE+EF, seu comprimento será igual a Esse resultado é 4% menor do que o valor encontrado na malha da figura 1.
Apesar de ser possível demonstrar matematicamente que essa configuração geométrica é a da mais curta malha possível, a forma mais simples de verificar tal resultado vem de uma experiência física com bolhas de sabão. Se mergulharmos em um balde com água e sabão um dispositivo com duas chapas paralelas separadas por quatro pinos de altura h (vértices de um quadrado de lado 1 nas chapas), conforme mostra a figura 4, a bolha de sabão formada entre os pinos terá a menor área possível. Esse resultado em três dimensões sugere a solução do nosso problema no plano bidimensional.