JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA


D izemos que os números 3, 4 e 5 formam uma terna pitagórica, uma vez que atendem ao teorema de Pitágoras (32+42=52). Partindo dessa terna de inteiros, é possível encontrar infinitas outras, bastando multiplicar cada termo por um número natural n. Por exemplo, para n=2 temos a terna pitagórica 6, 8 e 10. Chama-se terna primitiva toda terna pitagórica cujo máximo divisor comum entre seus elementos é 1. São exemplos de ternas primitivas (3,4,5), (5,12,13) etc. Quantas ternas pitagóricas primitivas de números inteiros existem?
A partir de uma terna pitagórica de números racionais, sempre será possível encontrar uma terna pitagórica primitiva de números inteiros. Por exemplo, da terna pitagórica (3/5, 4/5,1), podemos encontrar a terna primitiva (3,4,5), bastando multiplicar cada elemento por 5. Portanto, se provarmos que existem infinitas ternas pitagóricas de números racionais, estará encaminhada a prova de que existem infinitas ternas primitivas de números inteiros.
Admita a circunferência de centro E (0,0) e raio 1, cuja equação e gráfico estão indicados na figura 1; bem como as propriedades enunciadas na figura 2. Assumindo que a medida do ângulo é 2, e que BE é um número racional (portanto AB2 também será racional), teremos = e C (cos2, sen2). Como C pertence à circunferência, se cos2 e sen2 forem racionais, então (cos2, sen2,1) será uma terna pitagórica de racionais. Tal resultado sempre ocorrerá porque:
I) do temos sen=BE/ AB e cos=1/AB; II) como cos2=cos2-sen2 e sen2=2.sen.cos, substituindo o resultado de I teremos que cos2=(1-BE2)/AB2 e sen2=(2.BE)/AB2. Como BE e AB2 são números racionais, aplicando as propriedades da tabela 2 em II concluímos que sen2 e cos2 também serão números racionais. Uma vez que existem infinitos números reais entre 0 e 1 para a medida de BE, existem infinitas ternas pitagóricas primitivas de números inteiros. Há uma fórmula para explicitá-las? Respostas serão dadas por e-mail a quem se interessar pelo problema.