JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Se você perguntar para um engenheiro e para um matemático por que alguns faróis e antenas são parabólicos, é possível que obtenha respostas bem diferentes.
Um matemático diria que as propriedades geométricas da parábola justificam sua escolha. Na direção oposta, um engenheiro diria que a necessidade de resolver um problema prático é que nos conduz às superfícies refletoras que, por acaso, são curvas parabólicas.
Esses argumentos, que na mão dos mais espirituosos seriam um excelente tema de piadas opondo engenheiros e matemáticos, não será motivo de cizânia neste texto. Apesar de matemático, irei me render à original interpretação dos colegas engenheiros na explanação a seguir.
Se um engenheiro deseja projetar a superfície refletora de um farol de automóvel, é provável que queira que ela atenda às seguintes condições (figura 1):
a) todos os raios luminosos refletidos devem seguir a mesma direção; b) os raios refletidos na superfície L do farol devem atingir uma linha P todos ao mesmo tempo. Tais condições são razoáveis por garantirem a concentração dos raios (em oposição à dispersão) e por homogeneizarem a incidência do feixe luminoso.
Na figura 2, assumimos que o refletor é simétrico em relação à linha M que passa pelos pontos r, em L, e q, em P, sendo P uma linha perpendicular à M.
Colocaremos agora um ponto luminoso em q, que pode ser uma lâmpada ou um diodo, e ele irá emitir raios luminosos sobre a superfície refletora L.
Para encontrar a equação analítica da curva L, posicionaremos os eixos cartesianos de forma que y tangencie L em r, x esteja sobre M e, sem perda de generalidade, admitiremos que a distância qr é igual a 10, sendo r a origem do sistema e t um ponto de coordenadas (x,y) sobre L (figura 3).
Observando a figura 4, concluímos que um raio de luz emitido por q deve viajar a distância qt+tu. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo qts temos

e, então,

.
Como o eixo y é tangente à curva, um raio que saia de q em direção a r deve viajar 2 vezes a distância 10 até atingir a linha P. Essa distância deve ser igual a qt+tu para que sejam atendidas as condições do engenheiro. Decorre então que


Trabalhando algebricamente, essa equação de forma a isolar y encontraremos

, que é a equação de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x.