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MATEMÁTICA
"Professor, onde é que vou usar isso?"
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA
A matemática tem uma
quantidade enorme de exemplos de aplicações práticas dos
conhecimentos por ela investigados. Hoje analisaremos uma
dessas aplicações na expectativa de que você se convença de
que a matemática também ocupa espaço importante na área
da ciência aplicada.
Problemas que investigam a
distância mínima ligando pontos do plano em rede podem ser
estudados utilizando o cálculo
diferencial ou recursos de computação, mas, muitas vezes,
também podem ser resolvidos
por métodos geométricos puros. Vejamos um exemplo clássico de problema em que os
métodos geométricos são esclarecedores: dado um triângulo ABC de ângulos menores que
120, determine um ponto interno, denotado por S, de forma
que a soma AS+SB+SC seja a
menor possível.
A solução desse problema,
que é conhecido na matemática
como problema de Fermat ou
de Steiner, será o ponto S tal
que as medidas dos ângulos
ASB, BSC e CSA sejam todas
iguais a 120 (apesar de simples, a demonstração de tal fato
não é o propósito deste artigo).
Um segundo problema interessante que decorre desse é o
da construção, com régua e
compasso, o ponto S. Apresentaremos uma das mais belas soluções de construção de S, atribuída à Torricelli (ver figura):
(1) desenhe o triângulo ABC;
(2) escolha qualquer dos lados
do triângulo ABC e construa
um triângulo equilátero a partir dele (construímos BCX); (3)
circunscreva o triângulo BCX
(basta construir o circuncentro
de BCX usando o ponto de encontro das mediatrizes); (4) ligando A com X o ponto procurado S será a intersecção do
segmento AX com a circunferência.
A justificativa para a construção como solução do problema
é a seguinte: (a) ângulo BSX
mede 60 (ângulo BCX mede
60 porque BCX é equilátero;
ângulo BSX e BCX são congruentes porque são ângulos
inscritos de um mesmo ângulo
central); (b) ângulo CSX mede
60 (raciocínio análogo ao anterior); (c) ângulo BSC mede
120 (decorre dos itens "a" e
"b"); (d) ângulo BSA mede 120
(decorre do item "a" e do fato
que AX é um segmento de reta).
O conhecimento que acabamos de investigar foi utilizado
de forma prática pelo consórcio
de empresas que construiu, em
1989, a terceira linha Trans-Pacífica de Cabos de fibra óptica
(TPC-3). O projeto necessitava
encontrar um ponto o no Pacífico que minimizasse a soma
das distâncias ligando em rede
o Japão, Guam e o Havaí, o que
corresponde no nosso problema ao ponto S.
Deixo por conta do leitor a
investigação do seguinte fato
complementar à análise que
acabamos de fazer: se um dos
ângulos de um triângulo ABC
mede 120 ou mais, o ponto S
que minimiza a soma
AS+SB+SC será o vértice do
triângulo ABC que liga dois dos
seus menores lados.
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO é mestre em ensino de matemática pela USP e professor do Colégio Santa Cruz.
jlpmello@uol.com.br
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