JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

No estudo de análise combinatória, é comum o uso de recursos de contagem para a resolução de alguns problemas geométricos. Nesse contexto, os problemas clássicos são aqueles em que dispomos pontos sobre retas paralelas, ou sobre uma circunferência, e queremos calcular o número de triângulos com vértices nesses pontos.
Hoje investigaremos um problema que, mesmo sendo um clássico do assunto, não é tratado com tanta frequência nos cursos regulares de combinatória. O problema consiste em calcular o número máximo de regiões em que n retas podem dividir o plano.
Observe na figura 1 que três retas podem dividir o plano em quatro, seis ou, no máximo, sete regiões. Simulando outras situações, você perceberá que o número "máximo" de regiões ocorre quando entre as retas dadas não há paralelas, e quando nenhum ponto é intersecção de mais de duas retas.
Sendo r o número máximo de regiões em que n retas dividem o plano, podemos identificar, por meio de alguns desenhos, a seguinte sequência de pares (n,r): (0,1), (1,2), (2,4), (3,7), (4,11),... Veja que as diferenças do número de regiões entre pares consecutivos são 1, 2, 3, 4,..., o que nos permite rescrever as seqüências dos pares (n,r) da seguinte forma: (1, 1+1), (2, 1+1+2), (3, 1+1+2+3), (4, 1+1+2+3+4),... Agora fica fácil perceber que r sempre será igual a 1 acrescido da soma de n termos de uma progressão aritmética de primeiro termo e razão iguais a 1.
Então concluímos que r=1+[0,5.n.(n+1)]. Para o leitor familiarizado com demonstrações por indução, recomenda-se a verificação dessa fórmula por esse método.
Outro problema semelhante, só que um pouco mais difícil, é o seguinte: considerando n pontos distribuídos sobre uma circunferência de tal modo que o segmento ligando dois quaisquer desses pontos não passe pelo ponto de intersecção de outros dois segmentos, calcule o número r de regiões obtidas no círculo quando todos os n pontos são ligados.
Na figura 2 você pode observar que, para n=2, 3, 4, 5 temos, respectivamente, r=2, 4, 8, 16, mas não confie na intuição, já que r não é igual a 2 elevado a n-1. (resposta: 1 + Cn,2 + Cn,4).