JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Você deve ter estudado nas aulas de geometria que todo e qualquer triângulo pode ser inscrito em uma circunferência. Dizendo de outra forma, sabemos que sempre haverá uma circunferência que circunscreve um triângulo dado. Será que esse resultado dos triângulos pode ser expandido para os quadriláteros?
Alguns quadriláteros são inscritíveis, outros não. Por exemplo, qualquer retângulo é inscritível em uma circunferência de centro coincidindo com o ponto de encontro das suas diagonais e raio medindo metade da diagonal. Por outro lado, um losango de lado 1 e ângulos internos de 60º e 120º não é inscritível, fato que você pode verificar intuitivamente fazendo a construção com instrumentos geométricos.
O teorema de Ptolomeu (século II d.C.) a que se refere o título deste artigo nos informa sobre a condição para que um quadrilátero seja inscritível em uma circunferência: um quadrilátero (convexo) será inscritível se, e somente se, o produto de suas diagonais for igual à soma dos produtos dos seus lados opostos (ver figura 3). Se você acha que nunca viu o teorema de Ptolomeu, acompanhe as próximas linhas e surpreenda-se com o fato de que ele é um velho conhecido seu.
Se o quadrilátero ABCD da figura 3 for um retângulo de lados r e s e de diagonal d, o teorema de Ptolomeu se reduzirá a r.r+s.s=d.d, que é o teorema de Pitágoras (r2+s2=d2). Para o caso em que o quadrilátero ABCD não é um retângulo, usaremos nos nossos cálculos o teorema do ângulo central e inscrito (ver figura 1) e a lei do senos (ver figura 2).
Admita que o círculo da figura 3 tenha diâmetro 1. Observando as marcações angulares na figura, identificamos quatro pares de ângulos congruentes, cada par sendo formado por ângulos inscritos de um mesmo ângulo central correspondente. Pela lei dos senos aplicada aos triângulos ABD, BCD e ACD, os lados do quadrilátero ABCD são AB=sen z, BC=sen w, CD=sen x e AD=sen y. Raciocínio análogo nos indica que as diagonais do quadrilátero são AC=sen (z+w)=sen (x+y), BD=sen (x+w)= sen (y+z). Substituindo as medidas encontradas no teorema de Ptolomeu, segue que:
sen z. sen x+ sen w. sen y= sen (x+y). sen (y+z).
Você se lembra da fórmula do seno da soma de dois números reais? Pois bem, o teorema de Ptolomeu resume-se a essa mesma fórmula, só que escrita apenas em função de senos.
Para verificar a equivalência, basta aplicar ao teorema o caso particular de um quadrilátero com y+z=x+w=90º.
Nesse caso, teremos sen (y+z)=1, sen z=cos y e sen w=cos x, e o teorema de Ptolomeu se resumirá à fórmula clássica do seno da soma de dois números reais: sen (x+y)=sen x. cos y+ sen y. cos x.

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO é mestre pela USP e professor do colégio Santa Cruz

jlpmello@uol.com.br

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