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MATEMÁTICA
A geometria do compasso
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA
Lorenzo Mascheroni, geômetra e
poeta italiano, publicou em
1797 uma obra com um resultado
geométrico verdadeiramente surpreendente: toda construção plana que pode ser feita com régua e
compasso também pode ser realizada só com o compasso.
Evidentemente, não podemos
traçar uma reta com o compasso,
mas, se considerarmos uma reta
como conhecida sempre que dois
pontos distintos sobre ela são conhecidos, então, por mais estranho que possa parecer, o uso da
régua nas construções torna-se
supérfluo. Vejamos o significado
desse resultado por meio de um
exemplo. Imagine que você queira encontrar o ponto médio de
um segmento de extremos A e B.
Com o uso de régua e compasso, esse problema pode ser resolvido da seguinte forma: 1) traçamos duas circunferências de raio
AB, uma de centro A e a outra de
centro B; 2) traçamos uma reta ligando os pontos de intersecção
das circunferências encontradas;
3) a intersecção entre a reta traçada em 2 e o segmento AB será o
ponto médio de AB.
Segundo o resultado de Mascheroni, dados os pontos distintos A e B, é possível obter o ponto
médio do segmento AB usando
apenas o compasso (a construção
pode ser encontrada no site
www.cut-the-knot.org/do-you-know/compass.shtml, em
inglês).
A geometria só com o uso do
compasso, que até 1928 era conhecida como geometria de Mascheroni, hoje é chamada de geometria Mohr-Mascheroni devido
à descoberta de um livro do dinamarquês Georg Mohr com resultados semelhantes aos de Mascheroni, só que escrito 125 anos
antes da publicação do italiano.
Inspirados na natureza das investigações de Mascheroni, o matemático francês Jean Victor Poncelet e o geômetra suíço-alemão
Jacob Steiner demonstraram, no
século 19, outro curioso resultado:
toda construção que pode ser feita
apenas com o compasso pode
também ser realizada somente
com a régua e uma circunferência
fixa (por exemplo, uma moeda).
Na década de 60, descobriu-se
que também esse resultado já
havia sido demonstrado por
Mohr em obra de 1673 publicada
anonimamente.
Você se interessou pelo assunto? Então tente resolver este problema: dada uma circunferência,
encontre o seu centro utilizando
apenas construções com o compasso. A solução desse e de outros
problemas da geometria Mohr-Mascheroni pode ser encontrada
no site indicado acima.
José Luiz Pastore Mello é mestre em
ensino de matemática pela USP e professor do Colégio Santa Cruz.
E-mail: jlpmello@uol.com.br
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