JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Durante os anos de faculdade, tive aulas com um excêntrico professor que calculava a média das nossas notas pela fórmula geométrica, e não pela aritmética, como estamos mais acostumados. Lembro o leitor que a média aritmética (MA) entre os números x e y é (x+y)/2, enquanto que a geométrica (MG) é
Quando fomos apresentados à fórmula, logo concluímos que a MG sempre seria menor ou igual à MA. Pior do que isso, se perdêssemos uma das provas do curso, o que implicaria arcar com uma nota zero, estaríamos automaticamente reprovados, já que a MG entre zero e qualquer real positivo será sempre igual a zero.
Aquilo que já parecia o "fundo do poço" anunciou-se como ainda pior quando, questionado por um aluno, o professor sugeriu como alternativa a substituição da MG pela média harmônica (MH). A MH entre x e y é o inverso da MA dos inversos de x e y, ou seja: calcula-se inicialmente (1/x+1/ y)/2 e, em seguida, o inverso do número encontrado será a MH entre x e y.
A definição da MH permite concluir que ela é igual a (2xy)/ (x+y). Onde residia a crueldade do professor com a proposta? No fato de que a MH sempre será menor ou igual à já temida MG.
A relação de ordem entre MA, MG e MH pode ser observada por meio de uma representação geométrica atribuída ao matemático grego Papus de Alexandria (300 a.C.), em que temos uma circunferência de centro O e raio AO=CO=DO. Sendo AB=x e BC=y, convido o leitor a demonstrar que DO, DB e DE são, respectivamente, as médias MA, MG e MH entre x e y. Isso posto, e sabendo que a hipotenusa sempre é o maior lado de um triângulo retângulo, a análise da figura sugere que MAMGMH, exceto no caso-limite x=y, quando as três médias serão iguais.
Se, por um lado, a MH é um instrumento cruel para o cálculo da média de notas, por outro, ela tem inúmeras aplicações práticas extremamente importantes. Por exemplo, ao percorrer um mesmo trajeto a 60 km/h na ida e a 40 km/h na volta, sua velocidade média no percurso não será a MA entre as velocidades (50 km/h), mas sim a MH, que é igual a 48 km/h. Problemas envolvendo média de velocidades, vazões, taxas e freqüências são, em geral, resolvidos com a MH.