JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Certa vez, um imunologista disse em entrevista: "Feliz a matemática, que, com um punhado de teoremas, consegue responder a qualquer problema; triste a medicina, que, diante de doenças como a Aids, se vê incapaz de encontrar uma solução no curto prazo". O que você pensa disso?
Ao contrário do que muitos imaginam, a matemática é uma ciência repleta de problemas cuja solução ainda não foi encontrada. Isso será ilustrado com o chamado problema de Collatz.
Pense em um número natural diferente de zero. Se ele for par, divida por 2, se for ímpar, multiplique por 3 e some 1. Pegue o número que obteve e repita o processo até ter como resultado o número 1. Por exemplo, partindo do número 5, a trajetória percorrida será 5-16-8-4-2-1. Partindo do número 6, a trajetória será 6-3-10-5-16-8-4-2-1. Uma trajetória mais interessante é a do número 27. Depois de uma oscilação hesitante em torno da centena, atinge o número 484 na 15ª operação, volta a baixar até 91, sobe violentamente para 1.780, volta a descer e atinge um pico em 9.232. A partir daí, a trajetória cai rapidamente, morrendo em 1 na 111ª repetição.
A pergunta natural que decorre dessa brincadeira é: seja qual for o número de partida, será verdade que a trajetória sempre atingirá o número 1? Até hoje não conhecemos uma resposta para esse problema, proposto nos anos 30 pelo matemático Lothar Collatz. Vejamos um aspecto que torna o problema complicado.
Quando um elemento n da trajetória é par, o elemento seguinte será n/2, ou seja, haverá uma contração por um fator 2, que aproxima à trajetória de 1. Por outro lado, quando um elemento n é ímpar, o elemento seguinte será 3n+1, correspondendo a uma sensível expansão da trajetória por um fator maior que 3.
Poderíamos pensar que, como a taxa de expansão é maior que a de contração, grande parte das trajetórias cresce indefinidamente. Isso não é verdadeiro, pois uma trajetória se contrai, em média, com freqüência maior que aquela com que se expande. Se um elemento n da trajetória for ímpar, o seguinte (3n+1) será par, ou seja, uma expansão é necessariamente seguida de uma contração. Mas, se um elemento n da trajetória for par, o elemento seguinte (n/2) poderá ser par ou ímpar.
No delicado jogo de forças entre taxa de expansão maior que a de contração e freqüência de expansão menor que a de contração, não sabemos se as trajetórias terminam sempre em 1 ou não.