São Paulo, quarta-feira, 08 de dezembro de 2010

Próximo Texto | Índice | Comunicar Erros MATEMÁTICA JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO jlpmello@uol.com.br Só com régua e compasso Você saberia construir um pentágono regular com régua e compasso? A CONSTRUÇÃO de polígonos regulares usando apenas régua e compasso é um problema clássico que remonta à Grécia antiga e só foi definitivamente esclarecido com o uso do instrumental algébrico dos números complexos. Nos primeiros anos do ensino fundamental aprendemos procedimentos para construção com régua e compasso de polígonos regulares com 3, 4 e 6 lados. Utilizando o procedimento de construção da mediatriz de um segmento, estendemos com facilidade as construções conhecidas para polígonos regulares com o "dobro de lados" daqueles que já sabemos construir, e depois com o "dobro do dobro de lados", e assim sucessivamente. Desse modo, a partir da construção de um triângulo equilátero, podemos fazer, com régua e compasso, polígonos regulares de 6, 12, 24, 48... lados; e, a partir da construção do quadrado, saberemos construir polígonos regulares de 8, 16, 32, 64... lados. Os gregos antigos também conheciam procedimentos para construção do pentágono regular, o que nos garante a construtibilidade de outra família de polígonos regulares de 5, 10, 20, 40... lados. Mas você saberia construir com régua e compasso um pentágono regular? Inicialmente mostraremos que é possível construir com régua e compasso um decágono regular e, em seguida, construiremos o pentágono regular a partir dessa figura. Como o ângulo central de um decágono regular mede 36, basta provar que sabemos construir tal ângulo que automaticamente provaremos que é possível construir um decágono regular. Seja C uma circunferência de centro P e ângulo central de 36, traçamos o segmento QR, que representa o lado do decágono regular (figura 1). Como PQ=PR (ambos são raio de C, que chamaremos de r), segue que o triângulo PQR é isósceles e, nele, traçamos a bissetriz do ângulo em Q. Tal construção nos garante que o triângulo PQS também será isósceles, com PS=QS. Segue, portanto, que QS=QR (medida que chamaremos de x), e que o triângulo QRS também é isósceles. Nessas condições, conclui-se que os triângulos PQR e QRS são semelhantes, e que "r está para x assim como x está para r-x". Resolvendo a equação que decorre dessa relação de proporcionalidade, temos x igual à metade do produto entre r e °. Portanto, se conseguirmos construir um segmento x em uma circunferência de raio r, teremos construído o lado de um decágono regular. Na figura 2, sejam AB e CD dois diâmetros perpendiculares de um círculo de centro O e raio r. Além disso, seja M o ponto médio do segmento OB. Com centro em M e raio MC traçamos um círculo que intersecta o segmento AO em E. O segmento OE será x, ou seja, o lado do decágono regular, como segue demonstração ao lado da figura 2. Com a construção do decágono regular, o pentágono regular pode ser construído facilmente, basta ligar cinco vértices não adjacentes dois a dois. JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO é graduado e mestre pela USP e professor de matemática do colégio Santa Cruz. Figura 1 Figura 2 Teorema de Pitágoras no triângulo MCO Próximo Texto: Fora de SP: Grande Dourados faz vestibular em janeiro Índice | Comunicar Erros

Copyright Empresa Folha da Manhã S/A. Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução do conteúdo desta página em qualquer meio de comunicação, eletrônico ou impresso, sem autorização escrita da Folhapress.