JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

A s figuras acima representam três polígonos construídos sobre uma malha plana quadriculada. Pergunto a você: qual dos três possui a maior área?
Nas figuras 1 e 2, podemos fazer os cálculos aplicando de forma direta as fórmulas de área do retângulo e do trapézio. Assim, o retângulo de comprimento 3 e largura 2 terá área igual a 6; o trapézio de base maior 4, base menor 1 e altura 4 terá área igual a 10.
Já o polígono da figura 3 pode ser subdividido em retângulos e triângulos e cada área poderá ser calculada separadamente, o que irá totalizar no final uma área igual a 9,5. Segue, portanto, que o polígono da figura 2 é o de maior área entre os três.
Outra alternativa à estratégia de cálculo adotada seria o estabelecimento de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o que permitiria o cálculo das áreas com o auxílio da fórmula analítica da área de um triângulo com o uso de determinantes.
Vejamos uma terceira e elegante forma de calcular as mesmas áreas, agora utilizando um teorema demonstrado em 1899 pelo matemático vienense Georg Alexander Pick, válido para a área de um polígono cujos vértices sejam pontos de uma malha plana quadriculada: se N é o número de pontos da malha na região interior do polígono e B é o número de pontos da malha ao longo da fronteira do polígono (incluindo os vértices), sua área será dada pela fórmula N+0,5.B-1. No caso do polígono da figura 3, uma vez identificados N=5 e B=11, basta calcular 5+0,5.11-1 para descobrir que sua área é igual a 9,5.
Uma curiosa aplicação desse teorema se faz presente na engenharia florestal, onde a área de uma região com árvores distribuídas regularmente pode ser calculada com base no número e na distribuição dessas árvores por meio da fórmula de Pick.