JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Lorenzo Mascheroni, geômetra e poeta italiano, publicou em 1797 uma obra com um resultado geométrico verdadeiramente surpreendente: toda construção plana que pode ser feita com régua e compasso também pode ser realizada só com o compasso.
Evidentemente, não podemos traçar uma reta com o compasso, mas, se considerarmos uma reta como conhecida sempre que dois pontos distintos sobre ela são conhecidos, então, por mais estranho que possa parecer, o uso da régua nas construções torna-se supérfluo. Vejamos o significado desse resultado por meio de um exemplo. Imagine que você queira encontrar o ponto médio de um segmento de extremos A e B.
Com o uso de régua e compasso, esse problema pode ser resolvido da seguinte forma: 1) traçamos duas circunferências de raio AB, uma de centro A e a outra de centro B; 2) traçamos uma reta ligando os pontos de intersecção das circunferências encontradas; 3) a intersecção entre a reta traçada em 2 e o segmento AB será o ponto médio de AB.
Segundo o resultado de Mascheroni, dados os pontos distintos A e B, é possível obter o ponto médio do segmento AB usando apenas o compasso (a construção pode ser encontrada no site www.cut-the-knot.org/do-you-know/compass.shtml, em inglês).
A geometria só com o uso do compasso, que até 1928 era conhecida como geometria de Mascheroni, hoje é chamada de geometria Mohr-Mascheroni devido à descoberta de um livro do dinamarquês Georg Mohr com resultados semelhantes aos de Mascheroni, só que escrito 125 anos antes da publicação do italiano.
Inspirados na natureza das investigações de Mascheroni, o matemático francês Jean Victor Poncelet e o geômetra suíço-alemão Jacob Steiner demonstraram, no século 19, outro curioso resultado: toda construção que pode ser feita apenas com o compasso pode também ser realizada somente com a régua e uma circunferência fixa (por exemplo, uma moeda).
Na década de 60, descobriu-se que também esse resultado já havia sido demonstrado por Mohr em obra de 1673 publicada anonimamente.
Você se interessou pelo assunto? Então tente resolver este problema: dada uma circunferência, encontre o seu centro utilizando apenas construções com o compasso. A solução desse e de outros problemas da geometria Mohr-Mascheroni pode ser encontrada no site indicado acima.