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MATEMÁTICA
A surpreendente série harmônica
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA
A soma dos termos da seqüência geométrica 1, 2, 4, 8,... é um
bom exemplo de uma série divergente. Por outro lado, a seqüência
geométrica dos inversos desses
números, ou seja, 1, 1/2, 1/4, 1/8,...
constitui uma seqüência cuja soma das parcelas converge para o
número dois. Tal convergência
pode ser verificada da seguinte
forma: se chamarmos de S a soma
de todos os termos da seqüência,
poderemos dizer que 2S = 2 (1 +
1/2 + 1/4 + 1/8 +...) ou ainda que
2S = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 +... Desse resultado, concluímos que 2S = 2 +
S, ou seja, que S= 2.
Após a apresentação de duas séries geométricas, uma divergente
e outra convergente, pergunto ao
leitor se a soma 1 + 1/2 + 1/3 +
1/4,... irá convergir ou divergir.
A série analisada chama-se harmônica. Apesar de os termos da
série harmônica estarem cada vez
mais próximos de zero, como na
série geométrica convergente, ela
constitui uma série divergente.
Para compreender melhor esse
surpreendente resultado, vamos
considerar os termos da soma,
com exceção dos dois primeiros,
em grupos de dois elementos,
quatro elementos, oito elementos,
e assim sucessivamente. O primeiro grupo será 1/3 + 1/4, cujo
resultado é maior do que 1/2 porque 1/3 é maior do que 1/4 (a soma
de 1/4 com um número maior do
que 1/4 necessariamente excede
1/2). O segundo grupo será constituído por 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8,
cujo resultado também será
maior do que 1/2 porque cada termo, exceto o último, excede 1/8
(três termos que excedem 1/8, somados com 1/8, excederão 1/2).
Analogamente, o terceiro grupo
conterá os próximos oito elementos da série, cuja soma também
excederá 1/2 e assim sucessivamente. Se estamos diante de uma
série com infinitos grupos de números de soma maior do que 1/2,
evidentemente a série tem de ser
divergente.
Apesar de divergente, a série
harmônica caminha adiante a
passos bem lentos. A soma dos
seus cem primeiros elementos,
por exemplo, resulta em pouco
mais do que cinco. São necessárias cerca de 12 mil parcelas para
que a soma atinja o número dez.
Se você gosta de desafios, que tal
calcular o número de parcelas (ou
a ordem de grandeza desse número) necessárias para que a série
harmônica atinja o número cem?
Enviarei resposta por e-mail a todos os leitores que manifestarem
interesse pelo problema.
José Luiz Pastore Mello é licenciado
em matemática e mestrando em educação pela USP.
E-mail: jlpmello@uol.com.br
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