JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Ao construirmos no plano as retas r e s perpendiculares à reta t, como mostra a figura 1, sabemos que r e s serão paralelas e que, portanto, não se encontram. Tal fato, de lógica aparentemente inquestionável, não constitui uma regra que possa ser generalizada em qualquer geometria. Por exemplo, em um modelo de geometria esférica, duas retas perpendiculares a uma terceira reta não são paralelas, como veremos a seguir.
Definimos linha reta em uma esfera da seguinte forma: dados os pontos A e B sobre uma esfera, dizemos que uma linha reta será o caminho com a mais curta distância entre eles, o que é equivalente a dizermos que será a maior circunferência sobre a esfera passando pelos dois pontos. Por exemplo, se A e B estão no equador da Terra, dizemos que a linha reta que passa por eles será a própria linha do equador, como mostra a circunferência em verde na figura 2. Analisando os pontos C e D na mesma figura, devemos tomar cuidado para não interpretar como linha reta a circunferência marcada em azul, uma vez que a maior circunferência na esfera passando por C e D é o que está marcado em vermelho.
Compreendida a definição de linha reta na esfera, é possível concluir que, na geometria esférica, não existem retas paralelas. Mesmo admitindo duas retas perpendiculares a uma terceira, ainda assim essas retas não serão paralelas. Para compreender tal fato, assuma os pontos P (no pólo Norte da Terra), M (no encontro do meridiano de Greenwich com a linha do equador) e Q (no equador, 90 oeste). Observe na figura 3 que as linhas retas PQ e PM, apesar de serem perpendiculares à linha reta QM, não são paralelas, encontrando-se nos pontos P e T.
Essa mesma figura permite observar outro curioso fato: a soma dos ângulos internos no triângulo esférico PQM mede 270. Diferentemente da geometria plana, em que a soma dos ângulos internos de um triângulo mede sempre 180, na esfera, essa soma varia de 180 a 540.