JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

Muitas vezes o fascínio que um problema matemático exerce sobre uma pessoa é diretamente proporcional à simplicidade do seu enunciado. Assumindo isso como verdade, é possível compreender o encanto que o problema geométrico que trataremos no artigo de hoje vem exercendo sobre várias gerações de estudantes. O problema em questão consiste em calcular o ângulo na figura 1 (tente resolvê-lo antes de ver a solução na figura 2).
A localização exata desse problema na literatura matemática não é muito precisa, sendo que a versão mais antiga que conheço de enunciado semelhante se deve ao matemático russo V. D. Lidski, publicada em livro de 1972.
O curioso do desafio é que, para resolvê-lo, além do uso de conhecimentos geométricos elementares, tais como saber que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180, que cada ângulo interno de um triângulo equilátero é igual a 60, que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes etc., também se faz necessário o uso da criatividade na construção de segmentos auxiliares. A solução que proponho abaixo me parece a mais elegante e pertinente para o estudo dos mecanismos de uma demonstração geométrica.
Na figura 2, traçamos GE e EH, de tal modo que AG=AE e AH=AE (isso torna o triângulo AGE isósceles e o triângulo AEH equilátero). Utilizando a soma dos ângulos internos de um triângulo igual a 180 e um ângulo raso igual a 180, podemos deduzir, conforme indica a figura 2, que , , e . Note que os triângulos CGE e EBH são congruentes, dado que os seus ângulos são congruentes e CE=EH (o triângulo AEC é isósceles). Por fim, observando atentamente a figura, concluímos que AD=AB (triângulo isósceles ABD), AG=AH (por construção), DG=BH (por subtração) e GE=BH (devido à congruência de triângulos). Desse modo, segue que o triângulo DGE é isósceles de base GE e, portanto, o ângulo .