JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA

No sábado de Carnaval, o São Paulo jogou pelo Campeonato Paulista com o América, jogo que marcou a volta do meia Souza depois de afastamento por contusão. Não acompanhei o jogo, mas ainda na noite de sábado um amigo me disse que o resultado tinha sido 4 a 2, sem saber, contudo, quem tinha vencido.
Movido pela curiosidade, me propus duas perguntas antes de me informar sobre o vencedor: 1) qual teria sido o placar no intervalo do jogo, sem importar a ordem do resultado? 2) De quantas maneiras diferentes poderia ter evoluído o placar desde 0 a 0 até 4 a 2? Uma vez que um dos times fez quatro gols na partida, ao final do primeiro tempo ele poderia ter feito 0, 1, 2, 3 ou 4 gols.
O adversário poderia ter feito 0, 1 ou 2 gols e, portanto, o total de possibilidades para o placar no primeiro tempo é o produto de 5 por 3, ou seja, 15. Generalizando, se um time fez m gols na partida e o outro fez n gols, o número de possibilidades para o placar ao final do primeiro tempo, e sem que importe a ordem na contagem, será dada por (m+1).(n+1).
A segunda pergunta exige maior engenhosidade de raciocínio. A partida contou com quatro gols de um time, que chamaremos de A, e dois do outro, que será o time B.
Por exemplo, uma sequência ordenada ABAABA indicará no nosso modelo a seguinte evolução do placar ao longo do jogo: 1x0, 1x1, 2x1, 3x1, 3x2, 4x2. Dessa forma, o problema consiste em determinar quantas seqüências ordenadas diferentes podemos formar utilizando quatro vezes a letra A e duas vezes a letra B. Estamos diante de um típico problema de permutação simples com elementos repetidos. Temos uma permutação de seis elementos, sendo que quatro deles referem-se a uma mesma letra, e dois a uma outra letra.
O cálculo pode ser feito através da conta 6!/ (4!2!), que resulta em 15 possibilidades. Generalizando, o total de possibilidades distintas para a evolução do placar de uma partida com m gols de um time e n do outro será dado por (m+n)!/(m!n!).
No caso analisado, o fato de as respostas das duas perguntas serem iguais foi apenas uma coincidência. Apenas como curiosidade, a evolução do placar do jogo América (A) e São Paulo (B) foi BBBBAA, tendo sido 2x0 o placar ao final do primeiro tempo.