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VALE A PENA SABER
MATEMÁTICA
Pratique matemática fazendo comparações
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
ESPECIAL PARA A FOLHA
Anotação n!, muito usada em
problemas de análise combinatória, reserva resultados surpreendentes para valores muito
altos de n.
Sabemos, por exemplo, que, em
uma sala de aula com 30 alunos e
30 cadeiras fixas, o número total
de permutações dos alunos nas
cadeiras é igual a 30!
(30!=30.29.28...1); mas você saberia dizer qual é a ordem de grandeza desse número ou com que
poderíamos compará-lo?
Uma calculadora científica resolve parcialmente a dúvida indicando que o valor de 30! é aproximadamente igual a 2,65.1032. Conclui-se daí que sua ordem de
grandeza é 1032, mas resta a incômoda sensação de que isso não
nos diz muita coisa do ponto de
vista prático. Que tal compararmos então esse número com as
gotas de água em uma jarra de
cinco litros?
Dez gotas de um conta-gotas
comum têm volume aproximado
de 1 cm3. Sabendo que um litro é
igual a 1.000 cm3, podemos dizer
que, em uma jarra de cinco litros,
temos um total de 50 mil gotas.
Esse resultado é tão pequeno
quando comparado a 30! que precisamos aumentar muito o tamanho da jarra para encontrar um
padrão de comparação.
Vamos imaginar uma jarra esférica do tamanho da Terra. Quantas gotas de água caberiam nela?
Se em dez gotas temos 1 cm3 de
água, então teremos 107 gotas em 1
m3 e 1016 em 1 km3.
Como o raio da Terra mede
aproximadamente 6.370 km e a
fórmula do volume de uma esfera
é (4R3)/3, temos que o volume
da Terra é aproximadamente
igual a 1,08.1012 km3.
Juntando os dois últimos resultados obtidos, podemos dizer que
o hipotético recipiente do tamanho da Terra conteria o equivalente a 1,08.1012.1016 gotas de água,
ou seja, um total de 1,08.1028 gotas.
Ainda não chegamos à ordem
de grandeza de 30!, mas agora podemos estabelecer o seguinte padrão de comparação: 30! é aproximadamente igual a 20 mil vezes o
número de gotas de água que caberiam em um recipiente com o
volume da Terra. Como a água
dos oceanos não ocupa o volume
inteiro da Terra, podemos dizer
que o número de permutações
possíveis entre os 30 alunos de
uma sala de aula é maior do que
20 mil vezes o número de gotas de
água de todos os oceanos da Terra. No mínimo curioso, não?
José Luiz Pastore Mello é licenciado
em matemática e mestrando em educação pela USP.
E-mail: jlpmello@uol.com.br
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