23/05/2002 - 09h13

Matemática: Quem disse que 1+1 sempre será igual a 2 ?

JOSÉ LUIZ PASTORE MELLO
da Folha de S.Paulo

Não são poucos os exemplos na matemática em que a soma 1+1 não resulta 2. É claro que, quando dizemos que essa soma é diferente de 2, ou estamos levando em consideração que o número 1 envolvido na operação não é um número inteiro propriamente dito ou que o significado do símbolo "+" não é o mesmo que usamos normalmente para a adição. Vejamos abaixo alguns exemplos em que 1+1 pode resultar algo diferente de 2.

É sabido que dois pedreiros trabalhando juntos, em geral, realizam um mesmo serviço em menos tempo do que um só pedreiro trabalhando em turno dobrado. Nesse exemplo, se chamarmos de 1 o trabalho realizado por um pedreiro em uma hora e de 2 o trabalho de um pedreiro em duas horas, teremos que 1+12.

Digamos que eu tenha um só livro de Machado de Assis e que 1 represente o número de títulos diferentes que possuo desse autor.

Se me presentearem com uma cópia do mesmo título que já possuo, em minha contabilidade de títulos inéditos do autor, terei que 1+1=1, ou seja, a soma de um título repetido nada acrescentou ao total de títulos inéditos. Esses exemplos são freqüentes ao trabalharmos com a idéia de conjunto.

Mais um exemplo: admita que o número 1 represente um número natural qualquer cuja divisão por 2 deixa resto 1. Por exemplo, os números 1, 3, 5, 7 etc. podem ser entendidos nesse caso como número 1 porque deixam resto 1 na divisão por 2.

Pergunto ao leitor qual o resultado da conta 1+1 nesse contexto. Para resolvê-la, temos de somar dois números quaisquer do conjunto {1, 3, 5, 7, 9, ...} e verificar qual o resto da divisão do resultado da soma pelo número 2. Escolhendo, por exemplo, 3 e 7, temos que 3+7=10.

Como 10 deixa resto 0 na divisão por 2, podemos então dizer que 1+1= 0, ou seja, somar dois números quaisquer que deixem resto 1 na divisão por 2 resulta em um número que deixa resto 0 na divisão por 2.

Desdobramentos dessa idéia foram fundamentais para o desenvolvimento histórico da álgebra e suas aplicações na ciência.

Para encerrar o artigo, analisemos um exemplo em que o resultado da soma 1+1 varia em função de um certo ângulo. Sabemos que a resultanteda soma vetorial de duas forças, F1 e F2 (R=F1+F2), tem módulo dado pela fórmula: R=(raiz quadrada F1+F2+2.F1.F2.cosa). Como -1

José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do Colégio Visconde de Porto Seguro e professor auxiliar de ensino da Faculdade de Educação da USP

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