Em 7 de junho de 1742, o matemático alemão Christian Goldbach (1690-1764) escreveu ao colega suíço Leonhard Euler propondo a seguinte conjectura: todo número par maior que 2 é a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 é a soma de 7 com 11, ambos primos.

Euler respondeu no dia 30 do mesmo mês: “Que todo inteiro par é a soma de dois primos eu considero um teorema completamente certo, embora não consiga provar”. Ninguém conseguiu até hoje: apesar de muitas tentativas, ainda não existe demonstração aceita pela comunidade matemática como correta.

Com a ajuda de computadores, não é difícil verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa para um dado número, embora possa ser demorado se ele for grande. Assim, sabemos que todo inteiro par com menos de 19 dígitos é a soma de dois primos. O desafio é provar matematicamente que o mesmo vale em todos os casos.

Há diversos avanços parciais. Em 1930, o matemático russo Lev Schnirelmann mostrou que existe um número N tal que todo inteiro par maior que 2 é a soma de não mais que N primos. Hoje, sabemos que podemos tomar N=4.

Na mesma década, os matemáticos Chudakov, van der Korput e Estermann provaram que a conjectura de Goldbach é verdadeira para “quase todo” número par: se houver exceções, elas irão ficando mais raras à medida que os números crescem.

Surpreendentemente, após longo período sem muita novidade, em 2013 o matemático peruano Harald Helfgott provou que todo número ímpar maior que 7 é a soma de três primos. Essa afirmação é chamada conjectura fraca de Goldbach, pois é sabido que se a conjectura original de Goldbach for verdadeira então a “fraca” também é.

Mas não sabemos se a recíproca (“a volta”) também vale, pelo que o resultado notável de Helfgott não basta para resolver a questão levantada naquela carta, 276 anos atrás.