A harmonia das potências perfeitas

Um número inteiro positivo é chamado potência perfeita se for uma potência (quadrado, cubo etc.) de outro inteiro positivo. Em outras palavras, as potências perfeitas são os números da forma m^a em que tanto a base, m, quanto o expoente, a, são inteiros maiores do que 1. Em 1844, o matemático Eugène Charles Catalan afirmou que entre todas as potências perfeitas, as únicas que são inteiros consecutivos são 8=2³ e 9=3². Essa conjectura iria desafiar matemáticos do mundo todo por mais de século e meio.

Catalan (1814–1894) nasceu na bela cidade de Bruges, hoje parte da Bélgica, mas na época sob dominação holandesa. Ainda criança, mudou-se com a família para Paris, onde, em 1833, ingressou na renomada École Polytechnique e conheceu o excelente matemático Joseph Liouville (1809–1882). Ao final do ano seguinte, ele e a maioria dos colegas, esquerdistas e republicanos, foram expulsos pelo governo conservador monárquico da época. Mas, com a ajuda de Liouville, Catalan pôde retomar os estudos alguns meses depois, vindo a concluir a graduação em matemática em 1841.

À medida que se tornava professor e pesquisador, ele continuou politicamente ativo, chegando a ser eleito deputado. No entanto, hoje é lembrado sobretudo por seu trabalho em matemática, especialmente a famosa conjectura. Em 1865, ele regressou à Bélgica como professor da Universidade de Liège, cidade onde faleceu.

O problema da conjectura é ainda mais antigo: em 1343, o pensador judeu Levi ben Gershon (1288–1344), mais conhecido como Gersonides, já tinha provado que entre todos os números da forma 2ª ou 3^b, os únicos que são inteiros consecutivos são 8=2³ e 9=3². Em outras palavras, Gersonides mostrou que a conjectura é verdadeira se nos restringirmos às potências de base 2 ou 3. Mas remover essa restrição, considerando também todas as demais bases, torna a questão bem mais difícil.

Em 1976, o holandês Robert Tijdman encontrou um valor N tal que a conjectura de Catalan vale sempre que a base ou o expoente forem maiores do que N. Teoricamente, a partir daí só faltaria testar cada um dos números menores ou iguais a N, que são em número finito. Mas o N de Tijdman é colossalmente grande, então o número de casos é demasiado grande para qualquer computador testar.

Finalmente, em 2002, o romeno Preda Mihailescu deu uma prova rigorosa da conjectura de Catalan, usando certas técnicas modernas da teoria dos números. Esse trabalho foi publicado dois anos depois, concluindo uma saga matemática de 160 anos.