Descobri nos tempos da faculdade, lendo a coluna Jogos Matemáticos, que o grande divulgador Martin Gardner (1914 - 2010) publicou durante 25 anos na revista Scientific American. Passei semanas rabiscando contas, tentando entender o mistério...

Considere um número N com quatro dígitos que não sejam todos iguais: por exemplo N=4347. Organize os dígitos em ordem decrescente (7443) e crescente (3447), e chame K(N) a diferença: K(4347)=7443-3447=3996. Essa operação foi inventada em 1949 pelo indiano Dattareya Kaprekar (1905"“1986), professor de matemática na educação básica que dedicou sua vida a estudar propriedades dos números inteiros. Ele descobriu vários fatos surpreendentes.

Para começar, existe um único número N que é fixo para a operação, ou seja, tal que K(N)=N. Trata-se do 6174, número ao qual, francamente, ninguém tinha dado a menor bola até então. Mas tem mais. Se repetirmos a operação, sempre acabamos chegando ao número fixo: por exemplo, K(3996)=6264, K(6264)=4176 e K(4176)=6174. Isso acontece em no máximo 7 passos, qualquer que seja o número inicial. Por quê?

Os matemáticos buscam entender mistérios como esse pensando de forma mais geral, variando os dados do problema para torná-lo mais abrangente. Neste caso, a primeira coisa que vem à mente é variar o número de dígitos.

Para números com 3 dígitos, as conclusões são análogas: existe um único número fixo, 495, e todos os demais (cujos dígitos não sejam todos iguais) acabam indo parar nele. Mas, a partir daí, as coisas ficam mais complicadas: para 2 ou 5 dígitos não existe nenhum número fixo, e para 6 dígitos existem dois: 549945 e 631764.

A reação da maioria das pessoas é a decepção. Será que o caso do 6174 é mera coincidência e não existe nenhuma regra bonita e geral por trás? Antes de chegarmos a conclusões apressadas, observe que a operação de Kaprekar não depende diretamente do N, e sim dos seus dígitos. Portanto, se mudarmos a base B de numeração (falamos sobre bases na semana passada) o resultado também muda. E o problema fica bem interessante.

Para 4 dígitos, existe número fixo se, e somente se, a base é um múltiplo de 5. Isso inclui o caso B=10 com que começamos. Para 3 dígitos, a base precisa ser par, o que também é o caso de B=10. Já para 5 dígitos, número fixo existe somente se B=2 ou B é múltiplo de 3. Note que B=10 está excluído.

E para 2 dígitos, caro leitor, em quais bases existe número fixo? Ele é único? Respostas são bem-vindas pelo email: viana.folhasp@gmail.com.