"Professor, o seu curso começou em 6 de janeiro e vai terminar em 28 de fevereiro. Ora 6 é um número perfeito e 28 também é! O que isso prova sobre o curso?" Resisti heroicamente a responder que o meu curso era perfeito, e parti para conversar sobre a matemática por trás da observação do aluno.

A noção é bem antiga: um número diz-se perfeito se ele é igual à soma dos seus divisores próprios, ou seja, dos divisores que são menores que o próprio número. Por exemplo, 6 é um perfeito porque os seus divisores próprios são 1, 2 e 3 e a soma deles dá precisamente 6. Analogamente, os divisores próprios do número 28 são 1, 2, 4, 7 e 14, e a soma deles é igual a 28.

Os gregos antigos conheciam os quatro primeiros números perfeitos: depois de 6 e 28 vêm 496 e 8128. Eles têm propriedades intrigantes. Por exemplo, são todos números triangulares, isto é, são somas dos primeiros números inteiros: 6=1+2+3, 28=1+2+3+4+5+6+7, 496=1+2+3+...+30+31 e 8128=1+2+3+...+126+127.

O primeiro resultado importante sobre números perfeitos foi provado por Euclides, por volta do ano 300 a.C.: ele mostrou que se p é um número primo tal que 2^p-1 também é primo então N=2^p-1(2^p-1) é um número perfeito. Para p=2 isso dá N=6, para p=3 dá N=28, para p=5 dá N=496, e para p=7 dá N=8128.

A partir daí fica mais complicado. O próximo candidato seria p=11, mas 2¹¹-1=2047 não é primo, e o respectivo N=2.096.128 não é perfeito. De fato, os próximos números perfeitos demorariam um milênio e meio para serem descobertos.

Por volta de 1230, o matemático egípcio Ibn Fallus (1194–1252) publicou uma lista que, segundo ele, continha dez números perfeitos. Na verdade, três estavam errados, mas ainda assim ele acrescentou três números perfeitos (corretos) aos quatro conhecidos pelos gregos: 33.550.336, 8.589.869.056 e 137.438.691.328. Só que o trabalho dele não foi divulgado na Europa, e acabou sendo redescoberto no Renascimento italiano: 33.550.336 apareceu num manuscrito anônimo por volta de 1456, e os outros dois números foram exibidos pelo bolonhês Pietro Cataldi (1548–1626) em 1588.

Todas essas descobertas eram baseadas na fórmula N=2^p-1(2^p-1) de Euclides, e aí surgia a pergunta óbvia: será que não há outras maneiras de encontrar números perfeitos? Em particular, observando que a fórmula de Euclides só dá números pares, será que não existem também números perfeitos ímpares?

Entra em cena ninguém menos que o grande Leonhard Euler.