A Proposição 18 do Livro 13 de "Elementos", de Euclides, afirma que existem cinco sólidos (poliedros) regulares, ou seja, cujas faces são polígonos regulares idênticos e com o mesmo número de faces se encontrando em cada vértice. Sua prova é devida ao ateniense Teeteto (c. 417–369 a.C.). Os cinco sólidos são chamados "platônicos", pois ocupam posição de destaque na cosmologia do filósofo Platão (427–348 a.C.).

O astrônomo Johannes Kepler (1571–1630) também achava que os sólidos platônicos têm significado profundo na estrutura do universo. Em "Mysterium Cosmographicum", publicado em 1596, propôs um modelo do Sistema Solar, com os seis planetas conhecidos na época, baseado nos cinco sólidos com esferas inscritas e circunscritas.

Mas, em 1619, o próprio Kepler encontrou dois novos sólidos regulares, que foram chamados dodecaedros estrelados, grande e pequeno. Ambos foram descritos em 1568 pelo alemão Wenzel Jamnitzer (1507–1585) e um deles está representado num mosaico da Basílica de São Marcos, em Veneza, datado de 1430 e atribuído ao italiano Paolo Uccello (1397–1475). Mas Kepler foi o primeiro a reconhecê-los como sólidos regulares.

O que acontece é que a prova da Proposição 18 usa uma hipótese que Euclides não explicita: ela supõe que o sólido seja convexo, ou seja, que sua superfície não tenha reentrâncias. Os novos sólidos regulares encontrados por Kepler não são convexos.

Quase dois séculos depois, em 1809, o matemático francês Louis Poinsot (1777–1859) redescobriu os sólidos de Kepler e encontrou mais dois sólidos regulares não convexos, que agora chamamos grande dodecaedro e grande icosaedro. A saga foi concluída três anos depois por seu compatriota Augustin-Louis Cauchy (1789–1857). Ele provou que existem exatamente nove sólidos regulares: os cinco sólidos platônicos, convexos, e os quatro sólidos de Kepler–Poinsot, não convexos.

A beleza extraordinária desses objetos resulta das suas simetrias. Para os matemáticos, simetrias são transformações que deixam o objeto inalterado.

O nosso rosto é (aproximadamente) simétrico porque a reflexão no espelho (quase) não o modifica. A estrela-do-mar, com suas cinco pontas, é simétrica por rotação: se rodarmos o bicho de 72^o (360^odivididos por 5), ele permanece idêntico. Os poliedros regulares são aqueles que têm o máximo possível de simetrias.

A simetria tem um papel relevante na biologia, pois permite que as características do ser vivo sejam descritas por um código genético mais curto: não é por acaso que diversos vírus —por exemplo, o HIV— têm forma de icosaedro, octaedro ou dodecaedro.