Em 1770, Joseph-Louis Lagrange provou um belo teorema: todo número inteiro positivo pode ser escrito como soma de quatro quadrados, ou seja quatro números da forma a² em que a é um inteiro. Por exemplo, 7 = 1²+1²+1²+2² (também sabemos que não dá para escrever 7 como soma de menos do que quatro quadrados). A ideia do teorema remontava à "Aritmética" de Diofanto de Alexandria, escrita no século 3, e tinha sido formulada explicitamente por Claude Bachet em 1621.

Mas nesse mesmo ano de 1770 o inglês Edward Waring (1736–1798) já estava propondo uma generalização ainda mais desafiadora. Em "Meditações Analíticas" ele afirmou, sem provar: "Todo inteiro é uma soma de nove cubos (da forma a³); todo inteiro é também a soma de dezenove biquadrados (da forma a⁴)". E acrescentou, misteriosamente: "e assim em diante".

Waring foi professor da universidade de Cambridge, na Inglaterra, ocupando durante quase três décadas a posição de professor Lucasiano, uma das mais prestigiosas do mundo acadêmico, que contou com Isaac Newton e Stephen Hawking entre seus ilustres titulares. Hoje em dia, ele é lembrado, sobretudo, por causa das "Meditações".

Em linguagem moderna, o "problema de Waring" é o seguinte: para todo inteiro positivo k existe um número N(k) tal que todo inteiro positivo pode ser escrito como soma de N(k) potências a^k de inteiros positivos? A prova de que assim é só foi dada em 1909, pelo matemático alemão David Hilbert. E questões relacionadas continuam sendo temas de pesquisa até os nossos dias.

Um problema interessante é calcular explicitamente o valor de N(k) para cada valor de k. O teorema dos quatro quadrados de Lagrange significa que N(2)=4. A afirmação de que N(3)=9 foi provada em 1909 pelos alemães Arthur Wieferich e Aubrey Kempner. Mas N(4)=19 só foi provada em 1986, pelos matemáticos Ramachandran Balasubramanian, da Índia, e Jean-Marc Deshouillers e François Dress, da França.

Curiosamente, N(5) = 37 veio antes: foi provado em 1964 pelo matemático chinês Chen Jingrun. Atualmente, sabemos calcular N(k) para todo valor de k, mas alguns aspectos da fórmula ainda não foram compreendidos.

Um dos avanços mais recentes e interessantes nesta área teve lugar no ano de 2021. Será o tema da próxima semana.