O pastor presbiteriano e matemático inglês Thomas Bayes (1701–1761) interessou-se pelos problemas intelectuais do seu tempo. Em vida, publicou apenas "Divina benevolência", estudo religioso argumentando que o objetivo da divindade é a felicidade de suas criaturas, e "Introdução à doutrina das fluxões", defesa veemente das ideias de Isaac Newton. Mas foi o "Ensaio para resolver um problema na doutrina das chances", publicado dois anos após a sua morte, que assegurou a sua fama na posteridade.

Em teoria da probabilidade, é usual buscar informações sobre os efeitos a partir das causas. Por exemplo, se sabemos que uma caixa contém B bolas brancas e P bolas pretas, a probabilidade de que uma bola retirada ao acaso seja preta é P/(B+P). O problema a que faz menção o título de Bayes é o da probabilidade inversa: buscar informações sobre as causas a partir dos efeitos. Se não conhecemos os números B e P, o que podemos inferir sobre eles a partir da retirada de algumas bolas da caixa? Outro exemplo: se o teste de Covid deu positivo, qual é a probabilidade de que tenha sido porque o paciente está realmente infectado?

Bayes provou um teorema que explica como atualizar a estimativa da probabilidade de um evento aleatório a partir de nova informação. Apliquemos ao clássico regional entre os times de futebol Alguidares e Bem-Bom. Das dez partidas jogadas anteriormente, o Alguidares ganhou três e perdeu sete. Então o Bem-Bom parece favorito para a próxima partida: a priori, a chance de que vença é 7/10.

Mas sabemos que choveu em quatro dessas partidas, e que o Alguidares ganhou três delas. À luz dessa informação, o teorema de Bayes diz que a chance a posteriori de que o Bem-Bom ganhe é igual à probabilidade de chuva quando o Bem-Bom ganha (1/7) vezes a chance a priori de vitória do Bem-Bom (7/10), dividida pela probabilidade de chover (4/10). Assim, as chances do Bem-Bom não passam de 1/4.

As aplicações práticas da probabilidade inversa estão por toda a parte, e o teorema de Bayes é ferramenta fundamental. Ele também se mostrou particularmente útil no domínio da inteligência artificial, no desenho de métodos de aprendizagem de máquina. E está na base da chamada interpretação bayesiana, segundo a qual a probabilidade de um evento reflete a crença subjetiva na ocorrência desse evento, a qual deve ser atualizada a partir de cada nova informação.