Semana passada, tratei de dois problemas matemáticos famosos não resolvidos: 1. Conjectura dos primos gêmeos e 2. Conjectura de Goldbach. Hoje discuto mais dois, muito diferentes. O primeiro é quase uma brincadeira (extremamente desafiadora!). O segundo é considerado o mais importante de todos, por suas inúmeras consequências.

3. A Conjectura de Collatz é bem fácil de explicar. Considere um inteiro positivo N. Se N for par, substitua por N/2; se for ímpar, substitua por 3xN+1. Repita sucessivamente. Por exemplo, N=14 é substituído por 14/2=7, que é substituído por 3x7+1=22, que é substituído por 22/2=11, e assim por diante.

O alemão Lothar Colatz propôs este procedimento em 1937, afirmando que sempre acaba chegando ao número 1, qualquer que seja o N inicial. A simplicidade do enunciado é enganadora. O especialista húngaro Paul Erdös alertou que "a matemática pode não estar pronta para este tipo de problemas". E ofereceu 500 dólares pela solução.

Computacionalmente, sabemos que vale para todos os números até vinte dígitos. Em 1976, Riho Terras provou que para "quase todo" N a sequência acaba tomando valores inferiores ao N inicial. Isso foi melhorado por Terence Tao em 2019. É encorajador, mas para provar a conjectura serão necessárias novas ideias.

4. Hipótese de Riemann. Em 1859, Bernhard Riemann escreveu uma certa fórmula ζ(x), chamada função zeta. Ela já aparecera em trabalhos de Euler de 1740, mas Riemann estendeu a definição para os números x complexos, e mostrou que essa função nos diz muita coisa sobre os números primos.

Uma questão crucial era quais são os zeros, ou seja, os valores de x tais que ζ(x)=0. À parte os pares negativos -2, -4, -6 etc., Riemann sabia que existem muitos outros zeros, e acreditava que todos têm parte real igual a 1/2. Não sendo capaz de provar, aceitou esse fato como hipótese, deduzindo vários resultados a partir dele. Muitos matemáticos fizeram o mesmo desde então, resultando em dúzias de teoremas "provisórios", cuja validade depende de que alguém prove a hipótese.

Por isso, esse problema aparece em todas as listagens de problemas matemáticos, desde a famosa lista de Hilbert no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900, até os 7 problemas do Milênio, distinguidos pelo Instituto Clay com prêmios de US$ 1 milhão. Hilbert disse: "Se eu despertasse depois de ter dormido durante mil anos, a minha primeira pergunta seria: a hipótese de Riemann foi provada?"