O teorema dos quatro quadrados de Lagrange afirma que todo inteiro positivo N pode ser escrito como soma de quatro quadrados perfeitos, ou seja, N=a²+b²+c²+d² para alguma escolha de números inteiros a, b, c e d.

Em geral, há várias maneiras de fazer isso: 310 é igual tanto a 1²+17²+4²+2² quanto a 9²+15²+2²+0², por exemplo. Em 1834, o alemão Carl Gustav Jacobi (1804–1851) provou uma bonita fórmula que diz exatamente quantas maneiras existem.

Em 2016, o matemático chinês Zhi-Wei Sun propôs vários refinamentos do teorema, entre os quais se destaca a surpreendente "conjectura 1-3-5", segundo a qual sempre é possível escolher a, b, c e d de tal forma que a+3b+5c também seja um quadrado perfeito. Por exemplo, relativamente a 310=9²+15²+2²+0² vemos que 9 + 3 vezes 15 + 5 vezes 2 é igual a 64, que é 8².

No espaço de um ano, esta afirmação já tinha sido verificada computacionalmente para todos os inteiros com menos de 11 dígitos. A essa altura, Sun decidiu oferecer um prêmio em dinheiro pela prova geral da conjectura 1-3-5, para todos os inteiros. O montante não foi escolhido ao acaso: 1.350 dólares.

Ao final de 2019, a conjectura 1-3-5 foi provada por António Machiavelo, professor do departamento de matemática da Universidade do Porto e seu estudante de doutorado Nikolaos Tsopanidis, com a ajuda de Rogério Reis, do departamento de computação da mesma universidade.

Eu fiquei particularmente feliz porque conheço bem os dois autores sêniores: Reis foi meu colega na graduação, éramos muito próximos, e Machiavelo, um par de anos mais jovem, chegou a ser meu aluno quando lecionei no Porto, antes do meu doutorado.

A prova da conjectura tem duas partes. Primeiro, Machiavelo e Tsopanidis provaram que a afirmação é verdadeira para todo N suficientemente grande, digamos, maior do que 105.103.560.127. Em seguida, com a ajuda de Reis, eles verificaram computacionalmente que também é verdadeira para todos os inteiros até esse valor.

Um aspecto curioso da prova é que está baseada nos quaternions, um tipo peculiar de números descoberto em 1843 pelo irlandês William Hamilton (1805–1865). Inicialmente, os quaternions seriam usados na geometria e na mecânica, mas também aparecem aqui num importante papel na teoria dos números.