Um leitor gentilmente me enviou estudo de 2011 em que a lei de Benford, aplicada aos dados econômicos dos países da União Europeia, levantou suspeitas de manipulação dos dados da Grécia, a qual foi depois confirmada oficialmente.
A lei, descoberta por S. Newcomb em 1881 e F. Benford em 1937, afirma que nos mais diversos tipos de dados a chance de que o dígito inicial (o da esquerda) seja d é dada pelo logaritmo decimal de (1+1/d). Essa chance diminui quando o dígito aumenta: para d=1 dá 30,1% mas para d=9 é apenas 4,6%.
Não sabemos bem por que essa lei funciona, mas ela é uma ferramenta útil para detectar todo tipo de fraude, não só contábil. É usada, por exemplo, para auditar dados apresentados em artigos científicos: em artigos genuínos, as informações seguem a lei de Benford, mas não em trabalhos "fabricados".
A aderência à lei deve valer qualquer que seja a unidade utilizada (polegada, metro ou ano-luz, por exemplo), embora os números mudem muito conforme a unidade. Isso significa que ainda que a "fabricação" seja perfeita na unidade usada no artigo, ela ainda pode ser identificada apenas trocando a unidade.
Outra propriedade que torna difícil enganar a lei de Benford é que vale em qualquer base de numeração: se trocarmos 10 por outra base, b, a chance de que o "dígito" inicial seja d é dada pelo logaritmo de (1+1/d) nessa base b.
Além disso, existem generalizações que dão as chances dos dois dígitos iniciais, dos três dígitos iniciais etc. Elas têm sido aplicada a resultados eleitorais, no Brasil e em outros países, com conclusões interessantes. Mas discrepâncias com relação à lei também podem ser devidas ao "voto útil" e outras atitudes legítimas do eleitorado, e não fraude.
A lei de Benford tem sido usada ainda para identificar usuários falsos em redes sociais. A ideia é analisar quantos seguidores têm os seguidores do usuário: já foram identificados milhares de "bots" porque os números de seguidores de seus seguidores não seguiam a previsão da lei.
Outra aplicação interessante é na detecção de imagens "fake" na internet. Fotos são representadas digitalmente na forma de números (geralmente na base b=16), os quais seguem a lei de Benford. Mas quando a foto é editada e guardada de novo, a lei é quebrada. Assim um arquivo jpg ou gif discrepante com relação à lei de Benford sinaliza que pode ter havido modificação da foto original, embora a discrepância por si só não possa dizer qual foi a mudança ocorrida.
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