O teorema de Waring-Hilbert, formulado por Edward Waring (1736–1798) em 1770 e provado por David Hilbert (1862–1943) em 1909, afirma —entre outras coisas— que todo inteiro positivo pode ser escrito como soma de nove cubos perfeitos. Isto é, nove números da forma a³ em que a é um inteiro positivo ou zero.

Em alguns casos, dá para usar menos cubos: por exemplo, 10 = 1³+1³+2³. Mas certos inteiros realmente precisam de nove, por exemplo, 23 = 1³+1³+1³+1³+1³+1³+1³+2³+2³. E se considerarmos também cubos de inteiros negativos? Por exemplo, então podemos escrever 23 usando apenas quatro cubos: 23 = (-1)³ + 2³ + 2³ + 2³.

Resulta que com negativos o problema se torna muito mais difícil. Nem sequer sabemos quais são os inteiros que podem ser escritos como a soma de três cubos, apesar de esta pergunta ter sido muito estudada desde os anos 1950, quando o algebrista Louis Mordell chamou a atenção para ela.

Mordell (1888–1972) pesquisava as equações diofantinas, e conseguiu avanços profundos na direção de provar o teorema de Fermat. Uma de suas ideias principais, a conjectura de Mordell, foi provada em 1983 pelo alemão Gerd Faltings, o qual foi distinguido com a medalha Fields —o maior prêmio da matemática—, em 1986 por esse feito.

Sabemos que para que um inteiro seja a soma de três cubos, o resto da sua divisão por 9 não pode ser 4 nem 5. Por exemplo, como o resto da divisão de 23 por 9 é igual a 5, não podem existir inteiros a, b e c tais que 23 = a³ + b³ + c³.

O que não sabemos é a volta, ou seja, se todos os inteiros N cujo resto da divisão é diferente de 4 e 5 são somas de três cubos. Até pouco tempo atrás, isso era desconhecido até para números pequenos. O caso N=33 foi resolvido em 2019 pelo professor Andrew Booker, da Universidade de Bristol, o qual precisou de três semanas de cálculo num supercomputador para encontrar a solução.

Isso deixou N=42 como o único caso abaixo de 100 não resolvido até então. A solução foi encontrada alguns meses depois, em colaboração com o professor Andrew Sutherland, do MIT. Após mais de um milhão de horas de cálculo numa rede de 500 mil computadores domésticos interligados (!), descobriram que 42 é igual à soma dos cubos dos inteiros a = –80538738812075974, b = 80435758145817515 e c = 12602123297335631. O tamanho desses números mostra bem como o problema se torna complicado!