O teorema de Euclides-Euler

Por volta do ano 100, o grego Nicômaco de Gerasa (c. 60–c. 120) publicou "Introdução à Aritmética", que se tornou o principal livro sobre o tema durante mais de mil anos. Nele formulou cinco conjecturas –afirmações que acreditava serem verdadeiras, mas que não provou– sobre números perfeitos.

Um número diz-se perfeito se ele é igual à soma dos seus divisores próprios, ou seja, menores que o próprio número. Por exemplo, 28 é perfeito porque os seus divisores próprios são 1, 2, 4, 7 e 14, e a soma destes números é 28.

Duas das conjecturas de Nicômaco eram falsas. Duas continuam em aberto: são os problemas matemáticos não resolvidos mais antigos. A outra só foi provada mais de 1.600 anos depois, por Leonhard Euler (1707–1783). É o tema de hoje.

Quatro séculos antes, Euclides provara que se p é tal que 2^p-1 é primo então N=2^p-1(2^p–1) é perfeito. Nicômaco conjecturou que todo número perfeito par é desta forma, ou seja, que a fórmula de Euclides dá todos os perfeitos pares que existem.

Em 1644, o francês Marin Mersenne (1588–1648) apresentou uma lista de onze valores de p tais que 2^p-1 é primo. De fato, ele não conferiu direito ("para dizer se um número de 20 dígitos é primo ou não, não alcança o tempo"), então é claro que a lista continha vários erros. Ainda assim, os primos da forma 2^p–1 são chamados primos de Mersenne.

Os sete primeiros números na lista de Mersenne já eram conhecidos: o primeiro exemplo novo era 2³¹–1 = 2.147.483.647. Mas que se trata realmente de um primo só foi provado muito depois por Euler, que dessa forma encontrou o oitavo número perfeito: 2³⁰(2³¹–1) = 2.305.843.008.139.952.128. A cronologia diz muito sobre a dificuldade do problema: em 1732, Euler afirmou que 2³¹–1 é primo, mas vinte anos depois escreveu ao colega Christian Goldbach que estava inseguro a esse respeito, e tardou mais vinte anos para apresentar uma prova.

Mas Euler fez ainda melhor. Em um trabalho realizado por volta de 1747, mas que só foi publicado após a sua morte, ele provou a conjectura de Nicômaco, que agora se chama teorema de Euclides-Euler: um número par N é perfeito se e somente se N=2^p-1(2^p–1) para algum p tal que 2^p–1 é primo. Euler é um dos maiores matemáticos da história, talvez o maior. Mas até para ele deve ter sido bacana partilhar a autoria de um teorema com Euclides, que vivera mais de 2.000 anos antes, não acha?

E sobre as duas conjecturas não resolvidas, interroga-se a leitora atenta, o colunista não vai dizer nada? Claro que sim, querida leitora, só que por hoje o meu espaço acabou.