O mundo à nossa volta é feito de simetrias. Estão presentes na estrutura do universo, das partículas subatômicas às galáxias, nos materiais do planeta, nos próprios seres vivos e, claro, nas diversas manifestações da arte humana. Frequentemente, elas emergem da busca pelo equilíbrio, pela economia dos recursos.
Tostão observou em seu artigo na Folha do último domingo (25), que a simetria tem papel importante até no futebol. Os jogadores com funções similares (zagueiros, laterais, volantes, meias e atacantes) dispõem-se simetricamente em relação ao eixo longitudinal do campo, porque esse arranjo contribui para estruturar a ação do time.
Como expliquei na semana passada, simetria significa que o objeto fica inalterado quando lhe aplicamos uma ou mais transformações, tais como reflexões, rotações ou translações.
Uma notação para representar os diferentes tipos de simetria, tanto no plano (2D) quanto no espaço (3D), foi criada por William Thurston, ganhador da medalha Fields no ano de 1982, e John Conway, outro excelente matemático e divulgador científico carismático.
Essa notação utiliza os inteiros positivos 1, 2, 3, ... juntamente com quatro símbolos especiais (o “espelho” *, o infinito ∞, o “milagre” X e o “espanto” O) para descrever as transformações que preservam a figura.
Por exemplo, a “calçada paulista” tem simetria 2222, pois fica inalterada por rotações de meia volta (180°) em torno de quatro pontos especiais.
Os padrões de simetria que incluem o símbolo infinito são chamados “frisos”, porque têm forma de faixa. Os demais são chamados “papéis de parede”.
Uma descoberta notável da matemática no século 20, chamada de Teorema Mágico, afirma que em 2D existem exatamente 24 padrões de simetria: 17 papéis de parede e 7 frisos.
Um fato surpreendente é que todas essas simetrias vêm sendo realizadas nas artes decorativas desde a antiguidade.
Por exemplo, os sete frisos foram identificados em cerâmicas escavadas na Suméria, datadas de cerca de 5.000 a.C.. Mas não precisamos ir tão longe para nos encantarmos com a criatividade humana: basta olhar o chão quando caminhamos numa calçada de “pedras portuguesas”.
A arte da calçada portuguesa utiliza um material difícil e é praticada por operários de origem humilde e formação limitada, o que torna ainda mais notável a riqueza dos padrões que elaboram.
Isso é muito visível em Lisboa: em suas calçadas já foram identificados todos os sete frisos e 11 dos 17 papéis de parede —um dos 6 que faltam foi encontrado na cidade de Guimarães.
Pense bem, caro leitor, querida leitora. Os artistas que produziram todas essas obras de arte não conheciam o Teorema Mágico, apenas usaram sua criatividade e intuição.
E, nos nossos dias, a matemática veio delinear os limites absolutos e imutáveis dessa intuição.
Os artistas foram até onde era possível e não encontraram outros padrões simétricos porque, simplesmente, eles não existem.
Fascinante, não?
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