Os números primos estão entre as ideias mais simples e mais misteriosas da matemática. A definição é simples: um inteiro n maior do que 1 é primo se ele admite apenas dois divisores, o próprio n e o 1. Mas o modo como os primos se distribuem entre todos os inteiros ainda encerra muitos mistérios.
Uma observação fácil é que há três tipos de primos. Temos o 2, que é o único primo par. Depois vêm os primos da forma 4k+1, cuja divisão por 4 dá resto 1. Finalmente estão os primos da forma 4k+3, cuja divisão por 4 dá resto 3. Por exemplo, 5 e 13 pertencem ao segundo tipo, enquanto 7 e 11 pertencem ao terceiro.
À primeira vista, estes dois últimos tipos de primos são muito parecidos e nada parece indicar que um deles seja mais especial do que o outro. No entanto, surpreendentemente, é isso mesmo o que acontece. E a prova está baseada num resultado matemático tão especial que o grande Gauss o chamou de "teorema áureo".
Para explicar, preciso falar sobre um modo curioso de fazer contas que os matemáticos chamam aritmética modular. Funciona assim. Inicialmente, fixamos um número inteiro n maior do que 1, chamado módulo. Nas contas só são usados os números 0, 1, 2, ... n-1. Para somar dois deles, somamos do jeito habitual, mas tomamos como resultado o resto da divisão dessa soma pelo n. Para multiplicar, fazemos o mesmo: multiplicamos do jeito usual e tomamos como resultado o resto da divisão desse produto pelo n.
Por exemplo, suponha que n=7. Então 5+6=4 (módulo 7) porque a soma usual de 5 com 6 é 11, e o resto da divisão de 11 por n=7 é 4. Analogamente, 5x6=2 (módulo 7) porque o produto usual de 5 por 6 é 30, e o resto da divisão de 30 por n=7 é 2. Esta multiplicação pode ter propriedades um pouco estranhas: observe, por exemplo que 3x8=0 (módulo 12).
Aprendemos na escola que um inteiro é chamado quadrado perfeito se for o quadrado de outro inteiro. Por exemplo, 49 é um quadrado perfeito porque ele é igual a 7x7. Essa noção também faz sentido na aritmética modular, usando a respectiva multiplicação. Por exemplo, 13 é um quadrado perfeito módulo 17, porque 13=8x8 (módulo 17).
Uma coisa curiosa é que os papéis de 13 e 17 nesta afirmação podem ser permutados: 17 também é um quadrado perfeito módulo 13 (verifique!). Por isso, dizemos que 13 e 17 são primos recíprocos. Acontece que no que diz respeito à reciprocidade os dois tipos de primos ímpares, 4k+1 e 4k+3, têm propriedades completamente diferentes. Quer saber como? Então não perca a coluna da próxima semana!
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