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22/11/2001
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10h20
especial para a Folha de S.Paulo
A estação das chuvas está chegando e com ela aumenta o interesse das pessoas pela reforma do telhado de casa.
Aproveitando uma chapa metálica retangular de 10 metros por 50 centímetros, decidi fazer uma nova calha de escoamento de água do telhado de casa.
O problema, que de início me parecia bastante simples porque o comprimento da chapa era igual ao do telhado da casa (10 m), tornou-se mais interessante quando tive de tomar a decisão sobre a altura ideal da calha.
Entre várias possibilidades limitadas apenas pelas dimensões da chapa, a primeira que me ocorreu foi: 0,3 m de largura, 0,1 m de altura e 10 m de comprimento. Nesse caso, o volume de água que a calha suportaria sem escoamento seria igual a 0,3 m3. Também seria possível: 0,1 m de largura, 0,2 m de altura e 10 m de comprimento, o que implicaria um volume menor da calha igual a 0,2 m3. Concluí estar diante de um problema de máximos e mínimos em que a pergunta se resumia a determinar o comprimento da altura h de tal forma que a calha tivesse a forma de um paralelepípedo reto-retângulo de maior volume possível.
Devido à forma escolhida para a calha, observe que, se a altura for igual a h, a largura terá de ser igual a 0,5-2h. Como o comprimento da calha estará sempre fixado em 10 m, o volume V será dado pelo produto da área da base do paralelepípedo por sua altura, ou seja V=(0,5-2h).h.10. Fazendo o produto e reagrupando os membros temos V=-20h2+5h, uma função quadrática com a=-20, b=5 e c=0. Lembremos que determinar o valor de h para que V seja o maior possível nesse caso implica calcular xV= -b/2a, ou seja, h=0,125 m. Se quisermos saber qual será o volume máximo da calha, bastará substituir o valor encontrado de h na função ou calcular yV= -[delta]/4a, o que nos dará um volume máximo igual a 0,3125 m3.
Como curiosidade, verifique que uma calha construída a partir da mesma chapa, mas agora no formato de um semicilindro, teria um volume maior: aproximadamente igual a 0,398 m3.
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José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do Colégio Visconde de Porto Seguro
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Resumão/matemática - Uma reforma para escoar a água do telhado
JOSÉ LUIZ PASTORE MELLOespecial para a Folha de S.Paulo
A estação das chuvas está chegando e com ela aumenta o interesse das pessoas pela reforma do telhado de casa.
Aproveitando uma chapa metálica retangular de 10 metros por 50 centímetros, decidi fazer uma nova calha de escoamento de água do telhado de casa.
O problema, que de início me parecia bastante simples porque o comprimento da chapa era igual ao do telhado da casa (10 m), tornou-se mais interessante quando tive de tomar a decisão sobre a altura ideal da calha.
Arte/Folha Online  |
Entre várias possibilidades limitadas apenas pelas dimensões da chapa, a primeira que me ocorreu foi: 0,3 m de largura, 0,1 m de altura e 10 m de comprimento. Nesse caso, o volume de água que a calha suportaria sem escoamento seria igual a 0,3 m3. Também seria possível: 0,1 m de largura, 0,2 m de altura e 10 m de comprimento, o que implicaria um volume menor da calha igual a 0,2 m3. Concluí estar diante de um problema de máximos e mínimos em que a pergunta se resumia a determinar o comprimento da altura h de tal forma que a calha tivesse a forma de um paralelepípedo reto-retângulo de maior volume possível.
Devido à forma escolhida para a calha, observe que, se a altura for igual a h, a largura terá de ser igual a 0,5-2h. Como o comprimento da calha estará sempre fixado em 10 m, o volume V será dado pelo produto da área da base do paralelepípedo por sua altura, ou seja V=(0,5-2h).h.10. Fazendo o produto e reagrupando os membros temos V=-20h2+5h, uma função quadrática com a=-20, b=5 e c=0. Lembremos que determinar o valor de h para que V seja o maior possível nesse caso implica calcular xV= -b/2a, ou seja, h=0,125 m. Se quisermos saber qual será o volume máximo da calha, bastará substituir o valor encontrado de h na função ou calcular yV= -[delta]/4a, o que nos dará um volume máximo igual a 0,3125 m3.
Como curiosidade, verifique que uma calha construída a partir da mesma chapa, mas agora no formato de um semicilindro, teria um volume maior: aproximadamente igual a 0,398 m3.
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José Luiz Pastore Mello é professor de matemática do Colégio Visconde de Porto Seguro
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