Um dos aspectos mais fascinantes da matemática —acho que os meus colegas concordam— é a capacidade para revelar relações surpreendentes entre coisas que não parecem ter nada que ver umas com as outras. O exemplo de hoje também testemunha o faro notável de Leonhard Euler (1707–1783) para perguntas que parecem apenas curiosas, mas são realmente profundas e geram avanços importantes.

O problema foi formulado em 1650 pelo sacerdote italiano Pietro Mengoli (1626–1686), um dos primeiros matemáticos a trabalhar com o conceito de "limite": quanto vale a soma 1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+1/6²+… dos inversos dos quadrados de todos os números inteiros? A pergunta requer uma explicação: afinal, como se soma uma quantidade infinita de números? O total não é necessariamente infinito, como pensavam alguns filósofos gregos?

A ideia é considerar somas parciais, com quantidades finitas mas cada vez maiores de termos: primeiro 1/1², depois 1/1²+1/2², logo 1/1²+1/2²+1/3², em seguida 1/1²+1/2²+1/3²+1/4² etc. Se essas somas forem se aproximando cada vez mais de um certo valor, é razoável considerar esse valor limite como sendo a soma de todos os termos.

O problema de Mengoli chamou a atenção dos melhores matemáticos da época, inclusive três membros da famosa família Bernoulli, que o atacaram sem sucesso. Tornou-se conhecido como "problema da Basileia", certamente porque os Bernoulli eram dessa cidade suíça. Foi resolvido em 1734 por Euler, que também era da Basileia, mas então já estava na Rússia. Ele apresentou a solução publicamente à Academia de Ciências de São Petersburgo em 5 de dezembro de 1735. Tinha 28 anos e a façanha trouxe-lhe fama imediata.

Na verdade, alguns dos passos do seu raciocínio não podiam ser justificados rigorosamente na época, mas foram depois comprovados por Karl Weierstrass (1815–1897). Em todo caso, em 1741, Euler deu uma prova diferente e totalmente rigorosa. Mas o mais surpreendente de tudo era a conclusão: o valor exato da soma é π²/6…

O número π = 3,14159265359…, todo mundo sabe, é o comprimento da circunferência de diâmetro igual a 1. Ele não pode ser representado completamente em expansão decimal: seria necessária uma quantidade infinita de dígitos, numa sequência que parece imprevisível. O que tal número pode ter a ver com os inteiros? Ainda mais π²/6, fala sério?!

O argumento de Euler, que hoje é acessível a um bom aluno do ensino médio, explica essa relação e está na origem direta do trabalho "Sobre o número de primos menores que uma quantidade dada", de 1859, em que Bernhard Riemann (1826–1866) revelou relações ainda mais profundas e surpreendentes entre π e os números primos.